Максимальне співвідношення ваги та субмодульні функції

Давши двосторонній графік з додатними вагами, нехай з рівний максимальній ваговій відповідності в графі . $G = (U \cup V, E)$ $f: 2^U \rightarrow \mathbb{R}$ $f(S)$ $G[S\cup V]$

Чи правда, що - субмодульна функція? $f$

matching submodularity

— Георгій Октавіан Рабанка
джерело

Як ти гадаєш? Ви намагалися довести / спростувати це?

— Yuval Filmus

Інтуїтивно здається, що це має бути правдою, але я не міг цього довести. Також я думаю, що якщо це правда, це повинен бути добре відомий результат, але я не міг знайти посилання.

— Джордж Октавіан Рабанка

Це справедливо для не зважених випадків, оскільки його можна звести до мінімуму скорочень. Не очевидно, як довести зважену версію ...

— Чао Сю

Розглянемо

з вагами краю 1,1,1,2.

K_{2, 2}

$K_{2,2}$

— Андрас Саламон

@ AndrásSalamon Схоже, що на останньому кроці ви припускаєте, що

- добавка, що не відповідає дійсності. Максимальна відповідність

може використовувати вершини , які вже були використані як узгодженням

. У мене зараз є докази цього, але, безумовно, більше, ніж до цього.

f

$f$

S \cap T

$S\cap T$

S ∖ T

$S \setminus T$

T ∖ S

$T \setminus S$

— Георгій Октавіан Рабанка

Визначення . Для заданого кінцевого набору множинна функція є субмодульною, якщо для будь-якого що: $A$ $f:2^A \rightarrow \mathbb{R}$ $X, Y \subseteq A$

f (X) + f (Y) \geq f (X \cup Y) + f (X \cap Y) .

$f(X) + f(Y) \geq f(X \cup Y) + f(X \cap Y).$

Лемма Дано двосторонній графік з додатними ваговими ребрами, нехай - функція, яка відображає до значення максимальної ваги, що відповідає . Тоді є субмодульним. $G = (A \cup B, E)$ $f: 2^A \rightarrow \mathbb{R}^+$ $S\subseteq A$ $G[S \cup B]$ $f$

Доказ. Фікс два безлічі і нехай і два паросполучення для графів і відповідно. Для доведення леми достатньо показати, що можна розділити ребра в і на два неперервні співпадіння і $X, Y \subseteq A$ $M_\cap$ $M_\cup$ $G[(X\cap Y) \cup B]$ $G[(X \cup Y) \cup B]$ $M_\cap$ $M_\cup$ $M_X$ $M_Y$ для графіків і відповідно. $G[X\cup B]$ $G[Y\cup B]$

Краї і утворюють сукупність чергуються контурів і циклів. Нехай позначимо цю колекцію і зауважимо , що ні цикл не містить вершин з або . Це справедливо, оскільки не відповідає цим вершинам. $M_\cap$ $M_\cup$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $X\setminus Y$ $Y\setminus X$ $M_\cap$

Нехай безліч шляхів в , щонайменше з однією вершиною в і нехай безлічі шляхів в , щонайменше з однією вершиною в . Дві такі стежки зображені на малюнку нижче. $\mathcal{P}_X$ $\mathcal{C}$ $X \setminus Y$ $\mathcal{P}_Y$ $\mathcal{C}$ $Y \setminus X$

Претензія 1. . $\mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y = \emptyset$

Припустимо від протилежного , що існує шлях . Нехай вершина в на шляху і аналогічно нехай вершини в на шляху . Зауважу , що оскільки ні , ні належить вони не належать до согласующим за визначенням, і , отже , вони є кінцевими точками шляху . Причому, оскільки і і $P \in \mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y$ $x$ $X\setminus Y$ $P$ $y$ $Y \setminus X$ $P$ $x$ $y$ $X \cap Y$ $M_\cap$ $P$ $x$ знаходяться в , шлях має рівну довжину, і оскільки він є змінним шляхом, або перший, або останній край належать . Тому відповідає або або , що суперечить визначенню і доводить твердження. $y$ $A$ $P$ $M_\cap$ $M_\cap$ $x$ $y$

Нехай і Зрозуміло, що

M_{X} = (P_{X} \cap M_{\cup}) \cup ((C ∖ P_{X}) \cap M_{\cap})

$M_X = (\mathcal{P}_X \cap M_\cup) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cap)$

M_{Y} = (P_{X} \cap M_{\cap}) \cup ((C ∖ P_{X}) \cap M_{\cup}) .

$M_Y = (\mathcal{P}_X \cap M_\cap) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cup).$

M_{X} \cup M_{Y} = M_{\cap} \cup M_{\cup}

$M_X \cup M_Y = M_\cap\cup M_\cup$ і

. Для доведення теореми залишається показати, що

є дійсними відповідниками для

відповідно. Щоб побачити, що

є дійсним збігом для

спочатку

, що жодна вершина

не відповідає

M_{X} \cap M_{Y} = M_{\cap} \cap M_{\cup}

$M_X \cap M_Y = M_\cap \cap M_\cup$

M_{X}

$M_X$

M_{Y}

$M_Y$

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

G [Y \cup B]

$G[Y\cup B]$

M_{X}

$M_X$

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

оскільки

не перетинає

за п. 1, а

не перетинає

за визначенням. Таким чином,

використовує тільки вершини

. По-друге, зауважте, що кожна вершина

узгоджується щонайменше одним ребром

оскільки в іншому випадку

належить або два ребра

або два ребра

, що суперечить визначенню. Це доводить, що

M_{X}

$M_X$

P_{X}

$\mathcal{P}_X$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{\cap}

$M_\cap$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{X}

$M_X$

X \cup B

$X \cup B$

x \in X

$x\in X$

M_{X}

$M_X$

x

$x$

M_{\cup}

$M_\cup$

M_{\cap}

$M_\cap$

M_{X}

$M_X$ є дійсною відповідністю для

; показуючи, що

є дійсним відповіддю для

, подібний.

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

M_{Y}

$M_Y$

G [Y \cup B]

$G[Y\cup B]$

— Георгій Октавіан Рабанка
джерело

M_{X}

$M_X$

M_{Y}

$M_Y$

M_{Y}

$M_Y$

C^{'} ≐ C ∖ P_{X} ∖ P_{Y}

$\mathcal{C'} \doteq \mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X \setminus \mathcal{P}_Y$

X Δ Y

$X \Delta Y$

M_{X} = (P_{X} \cap M_{\cup}) \cup (P_{Y} \cap M_{\cap}) \cup (C^{'} \cap M_{\cap})

$M_X = (\mathcal{P}_X \cap M_\cup) \cup (\mathcal{P}_Y \cap M_\cap) \cup (\mathcal{C'} \cap M_\cap)$

M_{Y}

$M_Y$

X

$X$

Y

$Y$

M_{\cap}

$M_\cap$

M_{\cup}

$M_\cup$