Про властивості матриці суміжності, коли графік планарний

1- Чи є якісь властивості для матриці суміжності, коли графік є плоским?
2- Чи є щось особливе для обчислення матриці постійної суміжності, коли графік є планарним?

Обчислювальний визначальний і постійний плоских графіків настільки ж важкий, як обчислення їх у загальних графіках. Вони повні для GapL і #P відповідно. Докладнішу інформацію див. У цьому документі Датта, Кулкарні, Лімаї, Махаджан .

Це скоріше властивість матриці падіння, ніж матриця примикання, але однією з важливих властивостей плоских графіків є те, що вони є саме тими графіками, графічний матроїд яких є дуалом іншого графічного матроїда. Відношення до матриць падіння полягає в тому, що графічний матроїд описує набори незалежних стовпців у матриці.

Існує властивість матриці відстаней (а не матриці суміжності) обмежених плоских графіків, які можуть представляти інтерес, властивості Монжа . Властивість Монжа (завдяки Гаспарду Монжу) для плоских графіків по суті означає, що певні найкоротші шляхи не можуть перетинатися. Ознайомтесь з Вікіпедією: Монжеський масив для отримання офіційного опису властивості Монжа. Djidjev (WG 1996) ( стаття на веб-сайті Djidjev ) та Fakcharoenphol and Rao (FOCS 2001) ( Відео ) показують, як використовувати властивості, що не перетинаються, в алгоритмах найкоротшого шляху.

Я не впевнений, які саме властивості ви шукаєте, але спектральний радіус плоских графіків є однією з таких величин (максимальне абсолютне значення власного значення суміжної матриці). Дивіться, наприклад, цей документ .

Хоча це не пов'язане безпосередньо з вашим запитанням, можливо, ви хочете переглянути роботу над ступеневими послідовностями плоских графіків. Невідомі характеристики, коли послідовність градусів є послідовністю градусів плоского графа. Однак є різноманітні цікаві статті з таких питань, зокрема:

http://www.jstor.org/pss/2100346