Класи графіків з легким гамільтоновим циклом, але NP-жорстким TSP

13

Задача про гамільтонівський цикл (HC) полягає у знаходженні циклу, який проходить через усі вершини в заданому непрямому графіку. Завдання комівояжера (TSP) полягає в знаходженні цикл , який проходить через всі вершини в даній крайової зважений граф і зводить до мінімуму загальну відстань , виміряний за сумою ваг ребер в циклі. HC - це особливий випадок TSP, і обидва, як відомо, є NP-повними [Garey & Johnson]. (Щоб отримати докладнішу інформацію та варіанти цих проблем, перегляньте посилання вище.)

Чи є якісь вивчені класи графіків, на яких задача гамільтонівського циклу вирішується в поліноміальний час за допомогою нетривіального алгоритму, але проблема продавця подорожі є важкою для NP?

Нетривіальним є виключення таких класів, як клас повних графіків, де Гамільтонів цикл гарантовано існує і їх легко знайти, або взагалі класи графіків, де ВК завжди гарантовано існує.

— Standa Zivny
джерело

20

Кографи не завжди є гамільтоновими, мають поліноміальні випробування часом на гамільтонічність і важко вирішити проблему продавця подорожі.

Більш загально задачу гамільтонового циклу можна вирішити в поліноміальний час (але не фіксований параметр, простежуваний) на графіках обмеженої ширини кліки ; див., наприклад, Фомін та ін., "Ширина кліків: про ціну спільності", SODA'09. Але знову ж таки тому, що ці сімейства графів включають цілі графіки, TSP важко ставиться до цих графіків.

— Девід Еппштейн
джерело

Мені цікаво ваше останнє твердження. Це тому, що TSP-тур дозволив би ефективно ідентифікувати кліки, маючи всі вершини клики, які будуть суміжними в турі?

— Суреш Венкат

1

Ні, я маю на увазі просто те, що TSP важкий навіть у повному графіку, а повні графіки є серед графіків із обмеженою шириною кліки. Самі повні графіки не дають гарної відповіді на питання, оскільки гамільтонність для них тривіальна, але суперкласи кліків (наприклад, кографи) можуть мати нетривіальні, але поліноміальні тести на гамільтонічність.

— Девід Еппштейн

11

Як щодо повних графіків ? Оскільки TSP завжди можна звести до екземпляра на повних графах (шляхом додавання належних відстаней між не-краями), вирішити TSP на повних графах все ще NP. Але будь-який повний графік є гамільтоніанським.

— Сісен-Чі Чанг 張顯之
джерело

Так, звичайно, дякую! Забули виключити повні графіки, і з цього питання всі класи графіків, де HC тривіально вирішимо.

— Standa Zivny

3

@Standa Zivny: Я не впевнений, ви збираєтесь редагувати питання чи ні, але якщо ви хочете виключити "всі класи графіків, де HC тривіально вирішується", слід змінити питання. Однак я сумніваюся, що можна сформулювати відмінність між випадком, коли ВК можна вирішити «легко», та випадком, коли ВК можна вирішити «тривіально».

— Цуйосі Іто

@Tsuyoshi Ito: Хороший момент, я відредагував питання.

— Standa Zivny

@StandaZivny - Не всі графіки, які є тривіальними для HC, важкі для TSP, наприклад графіки шляху.

— RB

3

Існує багато нескінченних класів графіків, які, як відомо, мають гамільтонові схеми. Два особливо цікавих класи - це n-кубики та графіки Халина. Один із способів мислення графіків Халіна - вбудувати дерево, що має принаймні 3 вершини і яке не має двох вершин валентності в площині, а потім пропустити просту схему через 1-валентні вершини дерева.

http://en.wikipedia.org/wiki/Halin_graph

Відомо, що ці графіки мають ВЧ і насправді вони або панциклічні (схеми будь-якої довжини), або відсутні лише одна довжина ланцюга, яка повинна бути рівної довжини.

— Йосиф Малькевич
джерело