Неповна основа комбінаторів

На це надихає це питання. Нехай - це сукупність усіх комбінаторів, які мають лише дві пов'язані змінні. Чи комбінаторно завершено ? $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$

Я вважаю, що відповідь є негативною, проте мені не вдалося знайти посилання на це. Мені також були б цікаві посилання на докази комбінаторної незавершеності наборів комбінаторів (я можу зрозуміти, чому множина що складається з комбінаторів лише з однією зв'язаною змінною, є неповною, тому ці множини повинні містити більше, ніж просто елементи ). $\mathcal{D}$ $\mathcal{D}$

lo.logic lambda-calculus combinatory-logic

— tci
джерело

Чи можете ви пояснити, що ви маєте на увазі під кількістю пов'язаних змінних комбінатора (= замкнутий лямбда-термін)? Загальна кількість лямбда-абстракцій?

— Ноам Зейльбергер

Так, це я мав на увазі.

— tci

Насправді, можливо, це не зовсім те, що ви мали на увазі ... можливо, ви, скоріше, маєте на увазі загальну кількість різних змінних, що використовуються в лямбда-абстракціях, так що, наприклад,

має дві чітко пов'язані змінні, незважаючи на наявність чотирьох лямбда-абстракцій? У такому випадку виявляється, що Рік Стейтман відповів саме на це запитання (негативно) у " Двох змінних недостатньо ".

(λ x . x (λ y . y)) (λ x . λ y . x y)

$(\lambda x.x(\lambda y.y))(\lambda x.\lambda y.x y)$

— Noam Zeilberger

Правильно. Я думаю, що це відповідь, яку я шукав, і я точно очікував, що це буде результатом Статмена. Я ще не перевірив, але думаю, що це також дасть негативну відповідь на питання, яке я згадав. Якщо ви опублікуєте це як відповідь, я з радістю прийму.

— tci

[Розширення коментаря до відповіді.]

По-перше, лише уточнення щодо підрахунку зв'язаних змінних у комбінаторі (= закритий додаток) . Я трактую питання як запитання про , наприклад, що термін вважається таким, що має дві пов'язані змінні, незважаючи на наявність чотирьох зв'язуючих (тобто лямбда-абстракцій). Цей спосіб підрахунку спочатку був трохи дивним для мене, оскільки він не є інваріантним $t$

the total number of distinct bound variable names in t

$\text{the total number of distinct bound variable names in }t$

t = (λ x . x (λ y . y)) (λ x . λ y . y x)

$t = (\lambda x.x(\lambda y.y))(\lambda x.\lambda y.yx)$

-перетворення: наприклад,

-еквівалентним

, але

має чотири чітко пов'язані назви змінних. Однак це насправді не є проблемою, оскількимінімальнакількість чітко пов'язаних імен змінних, необхідних для написання закритого терміна

, дорівнює

α

$\alpha$

t

$t$

α

$\alpha$

t^{'} = (λ x . x (λ y . y)) (λ a . λ b . b a)

$t' = (\lambda x.x(\lambda y.y))(\lambda a.\lambda b.ba)$

t^{'}

$t'$

t

$t$

максимальна кількість вільних змінних у підтерміні т

$\text{the maximum number of free variables in a subterm of }t$ і останнє поняття є інваріантним при

-конверсії.

α

$\alpha$

Отже, нехай - це сукупність усіх комбінаторів, які можна записати, використовуючи щонайменше дві чітко зв'язані змінні, або еквівалентно колекцію всіх комбінаторів, у підтермінах яких є щонайбільше дві вільні змінні. $\mathcal{C}$

Теорема (Статман) : не є комбінаторно завершеним. $\mathcal{C}$

Здається, що оригінальний доказ цього міститься у технічному звіті Ріка Стейтмена:

Комбінатори по спадковому порядку два. Технічний звіт математики кафедри Карнегі Меллона 88-33, серпень 1988 р. ( Pdf )

Статман визначає, по суті, ізоморфну колекцію комбінаторів, яку він називає "ГОРЯЧИЙ", для "спадково порядку порядку двох". Звіт про техніку фактично показує, що проблема проблеми (тобто, рівність) для HOT все ще не визначена, незважаючи на те, що вона не є комбінаторно завершеною. Пізніше Статман написав короткий автономний документ з доказом того, що HOT не є комбінаторно завершеним у: $\beta$

Двох змінних недостатньо. Матеріали 9-ї італійської конференції з теоретичних комп'ютерних наук, с. 406-409, 2005. ( acm )

$Hn$ $Hn$ $n+1$ $\beta$ $n$ $S = \lambda x.\lambda y.\lambda z.(xz)(yz)$ $n$ $n$ $Hn$ $n+1$

— Ноам Зейльбергер
джерело