Прості проблеми з важкими підрахунками версій

20

У Вікіпедії наводяться приклади проблем, коли версію для підрахунку важко, тоді як версія рішення є легкою. Деякі з них - це підрахунок ідеальних відповідностей, підрахунок кількості розчинів для $2$ -SAT та кількості топологічних сортувань.

Чи є якісь важливі класи (скажімо приклади в ґратах, деревах, теорії чисел тощо)? Чи є збірник таких проблем?

У існує багато типів проблем, $P$ які мають $\#P$ тверді версії підрахунку.

Чи існує версія природної проблеми на $P$ яка є більш зрозумілою або простішою, ніж загальне двостороннє ідеальне узгодження (будь-ласка, включіть подробиці про те, чому простіші, наприклад, такі, що продемонструються в найнижчих класах $NC$ -ієрархії тощо), у деяких інших область (наприклад, теорія чисел, решіток) або принаймні для конкретних простих двосторонніх графіків, версія для підрахунку яких $\#P$ тверда?

Приклади грат, політопів, підрахунку точок, теорії чисел будуть вдячні .

— Т….
джерело

1

Імовірно, ви хочете мати природні проблеми, оскільки [за рахунок зменшення з #SAT, проблеми, які # P-важко за [скорочення, що множать відповідь на ненульове число], мають проблеми з прийняттям важких рішень HP] та [за функцією ідентифікації, {x: x дорівнює 1+ (число_of_variables_ (

ϕ

$\phi$ )) або [нуль, за яким виконується задовольняюче призначення

ϕ

$\phi$ ]} - це # P-жорсткий при наступному найсуворішому типі скорочення, але версія його рішення є тривіальною].

@RickyDemer ваш текст є лаконічним. Так, я хочу природних проблем.

— Т ....

Невже ми не повністю розуміємо ідеальні збіги у двосторонніх графіках? Також для проблеми існує алгоритм RNC2.

— Сашо Ніколов

1

Так, ми ні. У нас немає детермінованого алгоритму

N C

$NC$

— Т ....

8

Ось справді чудовий приклад (я можу бути упередженим).

Враховуючи частково впорядкований набір:
а) чи має він лінійне розширення (тобто загальний порядок, сумісний з частковим порядком)? Тривіальне: Усі позети мають принаймні одне лінійне розширення
b) Скільки їх має? # P-завершити, щоб визначити це (Брайтвелл і Вінклер, Підрахунок лінійних розширень , Порядок, 1991)
c) Чи можемо ми створити їх все швидко? Так, у постійному амортизованому часі (Прус і Рускі, Генерування лінійних розширень швидко , SIAM J Comp 1994)

— Гара Прусс
джерело

3

+1: Я погоджуюсь, що це справді чудовий приклад (думав надсилати його сам, а потім побачив цю відповідь). Крім того, щоб хтось не сказав "Що робити з рішенням, якщо є хоча б одне інше лінійне розширення", ця проблема також абсолютно тривіальна: загальний порядок має 1 розширення, всі інші пости мають> 1. І виявити точно 2 розширення також легко (це буває, якщо рівно одна пара незрівнянних елементів). Насправді існує повна класифікація постів з до 7 лінійних розширень (див. Hanamura-Iwata, IPL 2011 ).

— Джошуа Грохов

Це справді приємний приклад. Однак існує набагато "простіша" проблема, однак користується тими ж властивостями (простішою в тому сенсі, що ці властивості майже тривіально довести). Підрахунок кількості задовольняючих завдань DNF: а) кожен непустий DNF задовольняється; b) підрахунок є # P-повним (зведення до #SAT); c) перерахування може бути здійснено з поліноміальною затримкою (можливо, постійний амортизований час, подумати над цим)

— holf

Мені б дуже цікаво дізнатись, чи можна виконати завдання, що задовольняють DNF, у постійний амортизований час (CAT). У той час і в моїй роботі з Франком, в 1994 році, лінійні розширення були першим "природним чином" об'єктом, для якого підрахунок був важким, і покоління було таким же швидким, як це виходить, коли амортизується (тобто CAT). Рішення DNF також здається ймовірним кандидатом на це. Хтось має довідку?

— Gara Pruesse

@GaraPruesse У мене немає посилань на це. Для монотонного DNF це еквівалентно перерахуванню набору гіперграфів, а деякі методи поліпшення затримки представлені в "Ефективних алгоритмах дуалізації великих масштабів" Кейсуке Муракамі та Takeaki Uno dl.acm.org/citation.cfm? id = 2611867 . Ми повинні перевірити, чи дає він CAT. Що стосується DNF, моя інтуїція полягає в тому, що якщо є невеликий застереження, то у вас вже є достатня кількість рішень для грубого насильства. В іншому випадку у вас є лише великі пропозиції, які, швидше за все, зіткнуться, і які можуть бути використані для розробки алгоритму CAT.

— holf

17

Один цікавий приклад із теорії чисел - це вираження додатного цілого числа у вигляді суми чотирьох квадратів. Це можна зробити порівняно легко у випадковий поліном час (див. Мою статтю 1986 року з Рабіном за адресою https://dx.doi.org/10.1002%2Fcpa.3160390713 ), і якщо я правильно пам’ятаю, зараз є навіть детермінований многочлен-час рішення. Але підрахунок кількості таких уявлень дозволить вам обчислити функцію суми дільників , яка є випадковим багаточленним часом, еквівалентним факторингу . Тож проблема підрахунку, мабуть, складна. $\sigma(n)$ $n$

— Джефрі Шалліт
джерело

"Тож проблема підрахунку, мабуть, важка", ви маєте на увазі, ймовірно,

важко? у вас є докази?

# P

$\#P$

— Т ....

Під "ймовірно важким" я маю на увазі, що це випадковий поліном-час, еквівалентний цілочисельній факторизації.

— Джефрі Шалліт

3

Отже, щоб це було явним: проблема не є # P-жорсткою (якщо тільки все пекло не вирветься).

— Еміль Йерабек підтримує Моніку

@JeffreyShallit Чи є приклад

?

# P

$\#P$

— Т ....

Я думаю , що наступний ще більш простий приклад: «Чи означає

мати належний Greater подільника , ніж

» проти «Скільки відповідних подільників більше , ніж

мають

є?». Версія рішення еквівалентна "

є складовою", тому вона є в

, але версія для підрахунку не виглядає легше, ніж факторинг.

n

$n$

1

$1$

1

$1$

n

$n$

n

$n$

P

$P$

— Dan Brumleve

17

Дуже приємний і простий приклад з Теорії графіків - підрахунок кількості ланцюгів Ейлара в непрямому графіку.

Версія для вирішення проста (... і проблема "Сім мостів Кенігсберга " не має рішення :-)

Версія для підрахунку - # P-hard: Грем Р. Брайтвелл, Пітер Вінклер: Підрахунок ейлерових схем # P-завершений . АЛЕНЕКС / АНАЛКО 2005: 259-262

— Марціо Де Біасі
джерело

У нашому документі "Наш підхід полягає в тому, щоб показати, що за допомогою оракула, який рахує ейлерові ланцюги, машина Тюрінга може ... і" Ми хочемо обчислити число

ейлерових орієнтацій

"Абзац-перерва" Ми побудуємо для будь-якого непарного простого

, графіка

, кількість кульок якого еквівалентно

модулю

. "І" Ми повторюємо цей процес для кожного простого p між

і

, де

, і ... ", безумовно, підказують, що вони дають лише паралельне скорочення, а не навіть

N

$N$

G

$G$

p

$p$

G_{p}

$G_p$

N

$N$

p

$p$

m

$m$

m^{2}

$m^2$

| E | = m

$|E| = m$

скорочення запитів.

m^{ϵ}

$m^{\epsilon}$

@MarzioDeBiasi - рішення Ейлерової ланцюга в НК?

— Т ....

1

@AJ. Вам просто потрібно обчислити парність ступеня кожного вузла і перевірити, чи всі вони рівні. Напевно, здається, в НК.

— Сашо Ніколов

4

Ви можете взяти паритет

бітів, використовуючи формулу розміру

або лінійну розмірну схему глибини

. Отже, якщо ваш графік подано у вигляді матриці суміжності, обчисліть паритет кожного ряду, заперечуйте та прийміть І. І з

бітів може бути зроблено з лінійної формулою розміру, тому в цілому, ви отримаєте

розмір булева формула і

розмір булева схема глибини

n

$n$

O (n^{2})

$O(n^2)$

O (\log n)

$O(\log n)$

n

$n$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

O (\log n)

$O(\log n)$ (на базі І-АБО). Тож проблема насправді в

.

{N C}^{1}

$\mathsf{NC}^1$

— Сашо Ніколов

2

Фактично проблема полягає в

.

{A C}^{0} [2]

$\mathrm{AC}^0[2]$

— Еміль Джербек підтримує Моніку

6

Що стосується вашого другого питання, такі проблеми, як Monotone-2-SAT (вирішення питання про відповідність формулі CNF, що має максимум 2 позитивних літерали за пунктом), є абсолютно тривіальними (ви просто повинні перевірити, чи ваша формула порожня чи ні), але проблема підрахунку - # P-важка. Навіть приблизна кількість задовольняючих завдань такої формули є важкою (див. Про твердість приблизних міркувань, Ден Рот, Штучний інтелект, 1996).

— холф
джерело

5

Від [Kayal, CCC 2009] : Явно оцінюючи знищення поліномів у певний момент

З конспекту: `` Це єдина природна обчислювальна проблема, де визначення існування об'єкта (знищуваного многочлена в нашому випадку) можна зробити ефективно, але власне обчислення об'єкта є важко важким ''.

Нехай поле і бути набір -many градусів- -мірним многочленів над -annihilating поліном є будь-який (нетривіальним) й $\mathbb{F}$ $\vec{f} = (f_1, ..., f_k)\in\mathbb{F}[x_1, ..., x_n]$ $k$ $d$ $n$ $\mathbb{F}.$ $\vec{f}$ $A$ $A(f_1, ..., f_k) = 0.$

Рішення легко: над будь-яким полем, і для будь-яких многочленів - якщо існує таке аннуляторное для . ((Через аргумент підрахунку розмірів.)) $k$ $(f_1, ..., f_k)$ $k \ge n+1,$ $A$ $(f_1, ..., f_k)$

Підрахунок важко: Визначити анулює-EVAL в якості функціональної завдання оцінки знищує полінома на якому - то момент : З огляду на простий і безліч , які мають мінімальний унітарний знищує $p,$ $(f_1, ..., f_k)\in\mathbb{Z}[x_1, ..., x_n]$ вихід ціле число $A(t_1, ..., t_k)\in\mathbb{Z}[t_1, ..., t_k],$ $A(0, ..., 0)\bmod{p}.$

ANNIHILATING-EVAL - це твердий. Крім того, що анулює многочлен не має невелике уявлення схеми , якщо не руйнується. $\#\mathsf{P}$ $A(t_1, ..., t_k)$ $\mathsf{PH}$

— Даніель Апон
джерело

1

Як і для прикладу Марціо, доказ паперового доказу 15.2, схоже, вказує на те, що вони виявляють твердість лише при паралельних скороченнях, а не навіть під

скорочення запитів.

m^{ϵ}

$m^{\hspace{.02 in}\epsilon}$

1

Ресурси, які я можу знайти, всі, схоже, не погоджуються щодо визначень. Нехай AE є проблемою, яку обговорює ваша відповідь. (... продовження)

1

(Продовження ...) Я не пробував працювати більш точно , який базовий клас вони використовують, але був би вельми здивований , якщо їх результат був краще , ніж #P =

(

$\big(\hspace{-0.07 in}$ DLOGTIME-єдиний TC

^{0}

$^0$

)

$\hspace{-0.06 in}\big)$

^{| |}

$^{\hspace{-0.06 in}||\hspace{-0.06 in}}$

^{AE}

$^{\text{AE}}$

^{[\sqrt{n}]}

$^{\hspace{-0.05 in}[\sqrt{n}]}$ . (... продовження)

1

(Продовження ...) Наскільки я розумію, це НЕ слід , що LWPP

MP

\subseteq

$\subseteq$

^{AE}

$^{\text{AE}}$

^{[\sqrt[3]{n}]}

$^{[\sqrt[3]{n}]}$

/

$\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.04 in}$ полі .

1

k

$k$

n

$n$

m a x d e g f_{i}

$max deg f_i$

{N P}^{# P}

$\mathsf{NP}^{\mathsf{\# P}}$