Відносна узгодженість теорії ПА та деяких типів

Під теорією типів за послідовністю я маю на увазі, що вона має тип, який не заселений. З сильної нормалізації куб лямбда випливає, що система $F$ і система $F_\omega$ послідовні. Індуктивний тип MLTT + також має підтвердження нормалізації. Однак усі вони повинні бути досить потужними для побудови моделі ПТ, яка доводить, що ПА узгоджується з цими теоріями. Система $F$ є досить потужною , тому я очікую, що вона зможе довести узгодженість ПТ, побудувавши модель за допомогою церковних цифр. MLTT + IT має індуктивний тип природних чисел і має також доводити послідовність.

Це все означає, що докази нормалізації цих теорій не можуть бути інтерналізовані в ПТ. Так:

Чи може система $F$ , система $F_\omega$ та MLTT + IT насправді довести послідовність ПА?
Якщо вони можуть, то яка метатеорія потрібна для доведення нормалізації для систем $F$ , $F_\omega$ та MLTT + IT?
Чи є хороша довідка для теорії доказів теорій типів взагалі чи для деяких із цих типів теорій зокрема?

type-theory proof-theory

— флюви
джерело

У Системі F ви не отримаєте принципу індукції для цифр Церкви, тому вони виходять із рівнянь.

— gallais

Коротка відповідь на ваше запитання 1 - ні , але, мабуть, тонких причин.

Перш за все, система і не може висловити теорію першого порядку арифметики , і навіть менше , консистенція . $F$ $F_\omega$ $\mathrm{PA}$

По-друге, і це насправді дивно, може насправді довести послідовність обох цих систем! Це робиться за допомогою так званої доказорелевантної моделі , яка інтерпретує типи як множини , де - якийсь манекеновий елемент, що представляє мешканця не порожнього типу. Тоді можна записати простих правил експлуатації і на таких типах досить легко отримати модель для системи , в якій тип трактується $\mathrm{PA}$ $\in\{\varnothing,\{\bullet\}\}$ $\bullet$ $\rightarrow$ $\forall$ $F$ $\forall X.X$ $\varnothing$ . Можна зробити подібну річ і для , використовуючи трохи більше ретельної інтерпретації вищих видів як просторів з кінцевими функціями. $F_\omega$

Тут очевидний парадокс, де може довести послідовність цих, здавалося б, потужних систем, але не (як я покажу через мить) нормалізації. $\mathrm{PA}$

$p$ $\phi$ $p\Vdash \phi$ $\phi$ $p$ $p\not\Vdash\bot$

Теорема: Якщо теорема арифметики 2-го порядку , то існує деякий замкнутий член системи такий, що $\phi$ $\mathrm{PA}_2$ $t$ $F$
$t ⊩ ϕ$ $t\Vdash\phi$

Цю теорему можна довести в , і тому у нас і застосовується аргумент Геделя (і не може довести нормалізацію системи ). Корисно відзначити , що зворотна імплікація, так що ми маємо точну характеристику докази теоретико-потужність , необхідна для доказу нормалізації системи . $\mathrm{PA}$

P A ⊢ F is normalizing \Rightarrow {P A}_{2} is consistent

$\mathrm{PA}\vdash F\mbox{ is normalizing}\Rightarrow\mbox{$\mathrm{PA}_2$ is consistent}$

P A

$\mathrm{PA}$

F

$F$

F

$F$

Існує аналогічна історія для системи , яка, я вважаю, відповідає вищій арифметиці . $F_\omega$ $\mathrm{PA}_\omega$

Нарешті, ми маємо складний випадок MLTT з індуктивними типами. Тут знову виникає дещо тонке питання. Безумовно, тут ми можемо висловити послідовність , так що це не проблема, і немає доказової невідповідної моделі, оскільки ми можемо довести, що тип має щонайменше 2 елементи ( насправді нескінченна кількість різних елементів). $\mathrm{PA}$ $\mathrm{Nat}$

Однак ми стикаємося з дивовижним фактом інтуїтивістських теорій вищого порядку: , версія вищого порядку Хейтінг Арифметика консервативна щодо ! Зокрема, ми не можемо довести послідовність , (що еквівалентно ). Інтуїтивно зрозумілою причиною цього є те, що інтуїтивістичні функціональні простори не дозволяють вам кількісно оцінити довільну підмножину , оскільки всі визначені функції повинні бути обчислені. $\mathrm{HA}_\omega$ $\mathrm{HA}$ $\mathrm{PA}$ $\mathrm{HA}$ $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$

Зокрема, я не думаю, що ви можете довести послідовність якщо ви додасте до MLTT лише натуральні числа без всесвітів. Я вірю, що додавання або всесвітів, або "сильніших" індуктивних типів (наприклад, порядкових типів) дасть вам достатню потужність, але, боюся, я не маю на це посилання. З всесвітами аргумент здається досить простим, оскільки у вас є достатня теорія множин для побудови моделі . $\mathrm{PA}$ $\mathrm{HA}$

Нарешті, посилання на доказову теорію типних систем: тут я думаю, що в літературі є справді розрив, і мені сподобалося б чисте поводження з усіма цими предметами (насправді я мрію написати про це якось день!). Тим часом:

Мікель та Вернер пояснюють тут неістотну модель , хоча вони роблять це для обчислення конструкцій, що дещо ускладнює питання.
Аргумент реалізації зафіксовано в класичних доказах і типах Жирара, Тейлора і Лафона. Я думаю, що вони також ескізують невідповідну модель, а також багато корисних речей. Це, мабуть, перша посилання, яку прочитали.
Аргумент консервативності вищої ланки арифметики Хейтінга можна знайти у невловимому другому томі « Конструктивізму в математиці» від «Троельстра та ван Дален» (див. Тут ). Обидва томи є надзвичайно інформативними, але читати для початківців ІМХО досить важко. Це також дещо уникає предметів теорії сучасного типу, що не дивно, враховуючи вік книг.

Додаткове запитання в коментарях стосувалося точної міцності консистенції / міцності нормалізації MLTT + індуктивності. Тут я не маю точної відповіді, але, безумовно, відповідь залежить від кількості всесвітів та характеру дозволених спонукальних сімей. Ратджен досліджує це питання у чудовій статті "Сила деяких теорій типу Мартіна-Лофа" .

Нормалізація Wrt, основна ідея полягає в тому, що якщо для 2 теорій і ми маємо $\cal{T}$ $\cal{U}$

P A ⊢ C o n (T) \Rightarrow C o n (U)

$\mathrm{PA}\vdash\mathrm{Con}(\cal{T})\Rightarrow\mathrm{Con}(\cal{U})$

то взагалі

P A ⊢ 1- C o n (T) \Rightarrow N o r m (U)

$\mathrm{PA}\vdash \mbox{1-$\mathrm{Con}$}(\cal{T})\Rightarrow\mathrm{Norm}(\cal{U})$

де 1- - 1-консистенція, а (слабка) нормалізація. $\mathrm{Con}$ $\mathrm{Norm}$

MLTT + тип натуральних чисел (і рекурсія) - це консервативне розширення , що підтверджено в рекурсивних моделях Бессона для теорій конструктивних множин . $\mathrm{HA}_\omega$

Що стосується MLTT з індукцією-рекурсією чи індукцією-індукцією, я не знаю, яка ситуація, і AFAIK, проблема точної міцності консистенції все ще залишається відкритою.

— коді
джерело

Отже, у певному сенсі система F - дуже слабка теорія, але вона має цю комбінаторну проблему, яка потребує доведення дуже сильної теорії? Якщо це так, то чи не повинен бути відомий його теоретичний теоретичний порядок і менше , що суперечить питанню, яке я пов'язав?

ϵ_{0}

$\epsilon_0$

— fhyve

І чи слід читати "якщо нормалізується, то ?"

p

$p$

p ⊮ \emptyset

$p\not\Vdash\emptyset$

— fhyve

Чому ви маєте на увазі під "in всі функції повинні бути обчислені"? Звичайно, ні, розглянемо теоретико-множинні моделі.

{H A}_{ω}

$\mathrm{HA}_\omega$

— Андрій Бауер

@AndrejBauer, безумовно, всі функції яких може бути доведено, що існують в межах піддаються обчислюванню (ззовні "ззовні"). Звичайно, зсередини вважається, що існують не обчислювані функції, якщо не додані подальші забавні аксіоми.

N \to N

$\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$

{H A}_{ω}

$\mathrm{HA}_\omega$

— Коді

Тоді ви мали б сказати щось на кшталт "визначені функції в обчислюються". Говорити, що "повинно бути обчислено", принаймні, вводить в оману.

{H A}_{ω}

$\mathrm{HA}_\omega$

— Андрій Бауер