Чи можемо ми довести слабку нормалізацію для системи F шляхом індукції на безмежній порядковій

16

Слабку нормалізацію для простого набраного лямбда-числення можна довести (Тюрінг) індукцією на . Розширене обчислення лямбда з рекурсорами на натуральних числах (Генцен) має слабку стратегію нормалізації шляхом індукції на . $\omega^2$ $\epsilon_0$

Що з системою F (або слабкішою)? Чи є у цьому стилі слабке підтвердження нормалізації? Якщо ні, чи можна це взагалі зробити?

— Каве
джерело

1

Мабуть, корисно зауважити, що кожна послідовна (підрахункова) теорія з достатньою виразністю має "" доказово-теоретичну порядкову форму, меншу за

визначену як найменшу обчислювальну порядкову частину, яка в даній теорії недостатньо обґрунтована. Хитрість полягає в тому, щоб описати цей порядковий "природним" способом.

ω_{C K}

$\omega_{\mathrm{CK}}$

— cody

10

Найбільш повне дослідження взаємозв'язку між теорією конструктивних доказів (яка тісно пов'язана з теорією конструктивних порядків) та непередбачуваною арифметикою другого порядку (що, як зазначає Ульрік, еквівалентне за силою системою F), - це Гірард (1989). Там він спирається на свою теорію розширювачів (1981), якої я насправді не дотримуюся, але, думаю, по суті, забезпечує неконструктивну теорію сколемізації вищого порядку.

$\Sigma^1_2$

Я пам’ятаю, як запропонував ординарному теоретику, що можна було просто встановити, що ви можете обґрунтувати непередбачуваний конструктивізм в теорії типів, заснованої на поліморфному обчисленні лямбда, і використовувати техніку відновлення кандидата з доказів СН Жирара для системи F для накладення розумного загального порядку на Всесвіт конструкцій, називаючи класи еквівалентності, які ви отримуєте з цього ординалами; він сказав щось розумне, про що я забрав, мовляв, ви можете змусити це працювати, але це матиме всі переваги крадіжок над чесним трудом. Щоб змусити його працювати, недостатньо добре, щоб ви могли довести в теорії множин існування таких порядків, для замовлення вам знадобиться конструктивне підтвердження трихотомії.

Підводячи підсумок, з усталеним уявленням про інтуїтивістську побудову, обумовлене Єпископом - Мартіном-Лефом, література, яку я знаю, настійно пропонує «ні». Якщо ви проти щирої праці та охопили б непередбачуваний конструктивізм, то я гадаю, що це, мабуть, можна зробити. Вам, природно, потрібна більш сильна теорія, що Система F для конструктивного доведення необхідної трихотомії, але Оцінка індуктивних конструкцій надає очевидного кандидата.

Список літератури

$\Pi^1_2$
Гірард (1989) Теорія доказів і логічна складність, т. Я , Наполі: Бібліополіс. Тома ІІ немає.

— Чарльз Стюарт
джерело

13

$\Pi^0_2$ $\omega^2$

$\varepsilon_0$ $\Gamma_0$

Сподіваємось, одного дня хтось придумає порядкове позначення арифметики другого порядку, що всі згодяться, це природно, і тоді це можна було б чесно використати для доведення слабкої нормалізації для системи F.

— Ульрік Бухгольц
джерело

11

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

Крім того, я вважаю, що арифметика другого порядку є досить сильною, і що досі не відома конструктивна верхня межа для "теоретичного доказу теорії" ( Мистецтво порядкового аналізу, розділ 3 ).

Я думаю, що ця конструктивна порядкова межа - це те, що потрібно для того, щоб зробити індукцію, яку ви вимагаєте.

— jbapple
джерело