Узагальнення теореми Ділворта для мічених DAG

Антіцепь в DAG $(V, E)$ є підмножина вершин, попарно недосяжний, а саме, немає таким чином, що досяжна з в . З теореми Ділворта в теорії часткового порядку відомо, що якщо DAG не має протиріччя розміром , то він може бути розкладений в об'єднанні максимум роз'єднаних ланцюгів, тобто спрямованих шляхів. $A \subseteq V$ $v \neq v' \in A$ $v$ $v'$ $E$ $k \in \mathbb{N}$ $k-1$

$v$ $\lambda(v)$ $\Sigma$ $A \subseteq V$ $\Sigma$ $A$ $\min_{a \in \Sigma} |\{v \in A \mid \lambda(v) = a\}|$ $k \in \mathbb{N}$ , що я можу припустити щодо його структури? Чи можу я його розкласти якимось особливим способом? Мене вже спантеличив випадок , але я також зацікавлений у випадку загального обмеженого набору міток. $\Sigma = \{a, b\}$

Візуалізувати це для , кажучи, що не має протизшивання з міченим розміром означає, що немає антисечі, що містить принаймні вершин, позначених і вершинами, позначеними ; може бути як завгодно великим антіцепі , але вони повинні містити тільки елементи або тільки елементів, аж до винятків в більшості. Створюється враження , що забороняючи великі антіцепі повинні забезпечувати , що DAG по суті «чергується» між частинами великої ширини для мічених вершин, і велика ширина для $\Sigma = \{a, b\}$ $G$ $k$ $k$ $a$ $k$ $b$ $a$ $b$ $k-1$ $a$ $b$ - мічені вершини, але я не зміг формалізувати цю інтуїцію. (Звичайно, відповідна структурна характеристика повинна говорити про мітки вершин на додаток до форми DAG, оскільки вже для і на умова виконується повністю довільними DAG, коли всі вершини мають однакову мітку.) $k \geq 1$ $\{a, b\}$

— a3nm
джерело

@Saeed, Ні, це не працює. Ваша плутанина пов’язана з тим, що якщо лист не з’являється в античейн, то його розмір із позначкою дорівнює . Візьмемо для прикладу повний двосторонній графік G = (A, B, E), кожне ребро, орієнтоване від A до B. Позначте кожну вершину A з і кожну вершину B з . Тоді кожен античайник має в ньому щонайменше один колір і, таким чином, має розмір , але ви не можете покрити його роз'єднаними ланцюгами. Те ж саме з DAG , що поміченої з тільки.

0

$0$

a

$a$

b

$b$

0

$0$

m (k - 1)

$m(k-1)$

a

$a$

— Холф

@holf, правда, я думав, що ми рахуємо мітки, де вони з'являються в античаїні, я не помітив, що міні переходить на всі елементи сигми. Я думаю, це дещо дивне визначення.

— Саїд

@Saeed: Справа в тому, щоб заборонити антисечі з великою різноманітністю символів. Інтуїція цього полягає в тому, що ми вивчаємо складність проблеми на DAG, яка стає тривіальною, коли у вас є такі великі античаїни (досить багато випадків незрівнянних символів). Щоб показати загальну простежуваність, нам просто потрібно обробити випадок DAG, де ця закономірність не виникає, тому ми хочемо розібратися, як такі DAG можуть бути розкладені, щоб створити для них алгоритм, який можна відстежувати. (У випадку без маркування, наприклад, розкладання ланцюга призводить до динамічного алгоритму.)

— a3nm

З Чарльзом Паперманом нам вдалося отримати такий результат для DAG, позначених алфавітом . За суті, ми можемо показати , що дано DAG , яка має великі антіцепей мічені елементи, великі антіцепі мічених елементи, але не великі антіцепі , що містять як багато , НЕ мічені і мічених елементів, тобто розкладання як розділ , де: $\{a, b\}$ $G$ $a$ $b$ $a$ $b$ $G$ $L_1, \ldots, L_n$

розділ - це те, що ми називаємо "нашарування", тобто:
- кожен - опуклий набір, тобто якщо і то $L_i$ $x, y \in L_i$ $x \leq z \leq y$ $z \in L_i$
- для всіх , немає і таких, що $i < j$ $x \in L_i$ $y \in L_j$ $y \leq x$
для будь-якого антихаїну з , є таке, що "майже міститься" в , тобто менше константи $A$ $G$ $i$ $A$ $L_i$ $|A \setminus L_i|$
для кожного справедливо одне з наступних:
- утримую велике антіцепь мічені елементи і не утримую велику антіцепі мічених елементів $L_i$ $a$ $b$
- утримую велике антіцепь мічених елементівале не утримую велику антіцепі мічені елементи $L_i$ $b$ $a$

Крім того, такий розділ можна обчислити в PTIME.

Я опублікував наше поточне підтвердження в мережі Інтернет . Це дуже грубо і, по суті, не коригується, тому що ми не маємо користі для результату, але все ж я вважав, що доречніше додати відповідь на це питання з питань теоретичних питань при нашому теперішньому прогресі. Не соромтеся зв’язатися зі мною, якщо ви зацікавлені в результаті, але не можете зрозуміти доказ.

— a3nm
джерело