Евклідова ТСП у складності NP та квадратного кореня

У цій лекційній записці Оли Свенссон: http://theory.epfl.ch/osven/courses/Approx13/Notes/lecture4-5.pdf сказано, що ми не знаємо, чи є Евклідова TSP в NP:

Причина в тому, що ми не знаємо, як ефективно обчислити квадратні корені.

З іншого боку, цей документ Пападімітріу: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397577900123 говорить про те, що він є NP-завершеним, що також означає, що він знаходиться в NP. Хоча він цього і не доводить у роботі, я думаю, що він вважає членство в НП тривіальним, як це зазвичай буває при таких проблемах.

Мене це бентежить. Чесно кажучи, заява про те, що ми не знаємо, чи є Евклідовий TSP в НП, мене шокувало, оскільки я просто припустив, що це тривіально - взявши тур TSP як сертифікат, ми можемо легко перевірити, чи справді це тур. Але проблема в тому, що можуть бути якісь квадратні корені. Отже, лекційні записки, в основному, стверджують, що ми не можемо в поліноміальний час вирішити таку проблему:

З огляду на раціональне число , вирішити , якщо .$q_1,\ldots,q_n,A\in\mathbb{Q}$$\sqrt{q_1}+\cdots+\sqrt{q_n}\leq A$

Питання 1: Що ми знаємо про цю проблему?

Це вимагає такого спрощення, якого я не зміг знайти:

Питання 2: Чи можна це привести до особливого випадку, коли ? Чи вирішується цей особливий випадок полінома-часу?$n=1$

Думаючи про це деякий час, я прийшов до цього. Ми хочемо, щоб багаточленна часова складність була відносно кількості бітів вводу, тобто не розміру самих чисел. Ми можемо легко опрацювати суму до полиномного числа десяткових цифр. Щоб отримати поганий випадок, нам потрібен екземпляр для таких, що для кожного многочлена , існує ціле число таке, що і узгоджують перші цифри десяткове розширення. k = 1 , 2 , … p k $q_{1,k},\ldots,q_{n,k},A_k\in\mathbb{Q}$$k=1,2,\ldots$$p$$k$ Akp(розмір вводу$\sqrt{q_{1,k}}+\cdots+\sqrt{q_{n,k}}$$A_k$$p(\text{input-size})$

Питання 3: Чи існує такий екземпляр реактивного номера?

Але що таке ? Це залежить від того, як представлені раціональні числа! Зараз мені цікаво про це:$\text{input-size}$

Питання 4: Чи алгоритмічно важливо, якщо дано раціональне число у співвідношенні двох цілих чисел (наприклад, ) або у десятковому розширенні (наприклад, )? Іншими словами, чи існує сімейство раціональних чисел таким, що розмір десяткового розширення не є поліноміально обмеженим розміром подання відношення чи навпаки?$24/13$$2.5334\overline{567}$

Q1. Це горезвісна відкрита проблема. Відомо, що він знаходиться на четвертому рівні ієрархії підрахунку , завдяки [ABKM] . Невідомо, що в НП. Проблема полягає не в обчисленні квадратних коренів, як стверджується в примітках до лекції: біт квадратного кореня цілого числа може бути обчислений у поліномії часу в та бітах цілого числа. Проблема полягає, скоріше, у тому, наскільки близька сума квадратних коренів цілих чисел може дійти до цілого числа, фактично не будучи цілим.$n$$n$

Q2. випадок, звичайно , легко. Це те саме, що , що знаходиться в поліноміальному часі, тому що квадратування раціонального числа відбувається в поліноміальний час.q ≤ A $n=1$$q \le A^2$

Q3. Відповідно до цієї сторінки , найвідомішим є те, що є цілі числа , усі між і , такі, що . Це нижня межа на кількість бітів, необхідних для обчислення для потенційно більш важкої проблеми, яка допускає негативні коефіцієнти. Найкраща верхня межа кількості бітів - експоненціальна в . 1 n | ∑ k i = 1$a_1, \ldots, a_k, b_1, \ldots, b_k$$1$$n$Ω(2дологп)$| \sum_{i = 1}^k \sqrt{a_i} - \sum_{i = 1}^k \sqrt{b_i}| = O(n^{-2k + 3/2})$$\Omega(2k\log n)$$k$

Q4. Я думаю, що десяткове представлення може бути досить неефективним. Тривалість періоду - це мультиплікативний порядок знаменника 10 модулів, який може бути експоненціальним у кількості бітів знаменника.

Ви написали:

З іншого боку, цей документ Пападімітріу: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397577900123 говорить про те, що він є NP-завершеним, що також означає, що він знаходиться в NP. Хоча він цього і не доводить у роботі, я думаю, що він вважає членство в НП тривіальним, як це зазвичай буває при таких проблемах.

Чому ти просто не прочитаєш документ, а не публікуєш такі дурницькі претензії? На сторінці 239 Пападімітріу ретельно обговорює ці питання та визначає основний варіант евклідової метрики для доведення.