Чи можна справжню випадковість (доказово) замінити випадковості Колмогорова для РП?

Чи були спроби довести, що випадковість Колмогорова буде достатньою для РП ? Чи завжди в цій справі завжди буде визначена ймовірність, використана у висловленні "Якщо правильна відповідь ТАК, то вона (імовірнісна машина Тьюрінга) повертає ТАК з вірогідністю ..."? Чи існували б лише верхня і нижня межі для такої ймовірності? Або завжди буде лише якась імовірнісна машина Тьюрінга, для якої ймовірності були б чітко визначені (або принаймні нижня межа, яка повинна бути більшою за 1/2)?

Тут клас RP відносно довільний, і можна було б також задати це питання щодо слабших уявлень про (псевдо-) випадковість, ніж випадковість Колмогорова. Але випадковість Колмогорова здається гарною відправною точкою.

Зрозуміти слово "ймовірність" було б частиною спроби показати, що випадковість Колмогорова працює для РП. Однак дозвольте спробувати описати один можливий підхід, щоб уточнити, що це може означати, і чому я говорив про верхню та нижню межі:

Нехай $s$ - випадкова (Колмогоров) рядок. Нехай $A$ - це задана ймовірнісна машина Тьюрінга, що відповідає мові з RP. Run з як джерелом випадкових біт раз, продовжуючи споживати раніше невитрачені біти з один за іншим. $A$ $s$ $n$ $s$

Для $p_n^s:=\frac{\text{#YES result in first $n$ runs of $A$ on $s$}}{n}$ $p_+^s:=\limsup_{n\to\infty}p_n^s$ $p_-^s:=\liminf_{n\to\infty}p_n^s$ $p_+^s$ $p_-^s$ $s$ $p_+^s=p_-^s$ $s$ $p_-^{s_1}=p_-^{s_2}$ $s_1$ $s_2$ $p\geq 1/2$ $p\leq p_-^s$ $s$

randomized-algorithms randomness pseudorandomness

— Томас Клімпель
джерело

Я не розумію питання. Що ви маєте на увазі під поняттям «<випадковість>, достатня для <класу складності>»? RP може бути дерандомізовано в поліноміальний час з оракулом для випадкової рядки Колмогорова, якщо це те, що ви запитуєте.

— Еміль Йерабек

Я не розумію, що ви маєте на увазі, говорячи про те, що RP буде «працювати», і я не розумію вашого останнього коментаря (машини RP завжди зупиняються після поліноміально багатьох кроків, або за визначенням, або без втрати загальності, якщо користуєтесь незручним визначення).

— Еміль Єржабек

У самому питанні я також не розумію, що ви маєте на увазі під "ймовірністю", коли говорити про випадкові рядки Коломогорова. На відміну від звичайних "випадкових рядків", які виводяться з випадкового розподілу, будучи випадковим Колмогоровим - це фактично так - немає властивості, яку заданий рядок не має або не має. Отже, чи змушує такий рядок приймати алгоритм не випадкову величину, і як таке, безглуздо запитувати про його ймовірність.

— Emil Jeřábek

Розумний підхід до цього полягає в тому, щоб сприймати "конструктивні Мартингейли" перспективу алгоритмічно-випадкових рядків. Зокрема, можна сподіватися, що якщо не зможе обдурити , то це перетвориться на "прогноз наступного біту" для , а потім у стратегію ставок, що демонструє, що не є випадковим. Я не знаю, чи цей підхід, навіть якщо він працює, дав би значущі показники конвергенції для та ; однак, мабуть, існує більш старий підхід до вивчення класів складності (ключові слова: "обмежений ресурсом"), який використовує цю ідею, тому є деяка надія.

s

$s$

A

$A$

s

$s$

s

$s$

p_{+}

$p_+$

p_{-}

$p_-$

— Ендрю Морган

Відповідні посилання у Вікіпедії (на які є додаткові посилання) на мій попередній коментар: конструктивні Мартінгейли (див. Третє визначення) та обмежений ресурсом захід

— Ендрю Морган

Я думаю, що питання, яке тут задають, є приблизно " чи є сенс, в якому ми можемо замінити послідовність випадкових бітів в алгоритмі бітами, визначеними детерміновано з відповідно довгих випадкових рядків Колмогорова? " відповідь! (Коротка відповідь - "Так, але тільки якщо ви попередньо посилите ймовірність помилки")

Так...

Тут ми можемо щось сказати. Нехай - деяка мова, а - алгоритм, який приймає як вхід і випадкову рядок (рівномірний розподіл на ) st . Іншими словами, - це алгоритм, який помиляється з вірогідністю не більше . $L$ $A$ $x$ $r\in U_{f(|x|)}$ $\{0,1\}^{f(|x|)}$ $\Pr[A(x,r)=L(x)]>1-\epsilon(x)$ $A$ $\epsilon(\cdot)$

Зауважте тепер, що якщо дає неправильну відповідь на тобто , це дає нам деякі засоби опису , зокрема, ми можемо описати його як -тей рядок, який викликає помилку наДля цього ми просто робимо машину, у якої жорстко закодовані , , , і трохи , і просто перераховуємо вибір від поки не знайде -й вибір такий, що . $A$ $(x,r)$ $A(x,r)\not=L(x)$ $r$ $i$ $A$ $x.$ $x$ $A$ $i$ $b=1\iff x\in L$ $r'$ $\{0,1\}^{f(|x|)}$ $i$ $r'$ $A(x,r')\not= b$

Отже, тепер, коли ми знаємо, що ми можемо використовувати неправильний вибір випадкових рядків в опис, давайте спостерігатимемо деякі умови, достатні для перетворення нашого опису в стиснення. Для опису нам потрібні достатньо бітів для опису , , , а потім код для нашої процедури (код для і розпорядок, який ми описали), даючи як опис довжини $r$ $r$ $x$ $i$ $b$ $A$

| x | + | i | + O (1) = | x | + \log_{2} (2^{f (| x |)} ϵ (x)) + O (1) = | x | + f (| x |) - \log (1 / ϵ (x)) + O (1) .

$|x|+|i|+O(1)=|x|+\log_2(2^{f(|x|)}\epsilon(x))+O(1)=|x|+f(|x|)-\log(1/\epsilon(x))+O(1).$

Нагадаємо, що - довжина , тому це стиснення якщо наприклад, коли . $r$ $f(|x|)$ $r$

\log (1 / ϵ (x)) = | x | + ω (1),

$\log(1/\epsilon(x)) = |x|+\omega(1),$

ϵ (x) = 1 / 2^{2 | x |}

$\epsilon(x)=1/2^{2|x|}$

Нарешті, зауважте, що якби була випадкова рядок Колмогорова, тоді у нас не може бути такого стиснення, доки ймовірність помилки достатньо мала, випадкова рядок Колмогорова замість послідовності випадкових бітів призведе до відповіді правильно! $r$ $A$ $A$

Зауважте, що єдине, на що ми звертаємось до це те, що ймовірність його помилки невелика. Нам не байдуже, чи є у надзвичайно тривалий час роботи чи якщо в є одна або двостороння помилка. $A$ $A$ $A$

Повертаючи це до питання про (або або ), це говорить про те, що поки ми збільшуємо ймовірність помилок наших алгоритмів, ми можемо використовувати випадкові рядки Колмогорова замість їх випадкових бітів. $RP$ $coRP$ $BPP$

... Але тільки якщо ми посилимось спочатку.

Наступне питання може бути: "чи можу я це зробити, не збільшуючи ймовірність помилки?" Розглянемо наступний алгоритм який вирішує і має ймовірність помилки . $A$ $\{0,1\}^*$ $1/2^n$

На вході : $x$

Утворіть рядок $r\in\{0,1\}^n$
Якщо , відхиліть. $r=x$
Прийміть.

Зауважте, що для кожного вибору є певний вибір такий, що помиляється на , а саме вибір що є , тому ми не можемо замінити випадкову послідовність бітів, використаних випадковою рядком Колмогорова без посилення це ймовірність помилок! $r$ $x$ $A$ $x$ $r$ $x$ $A$

Зауваження про джерело: Я не впевнений, чи є щось із цього новим, але я включив перший аргумент у свою реєстрацію для мого кваліфікаційного іспиту, який згодом буде доступний в Інтернеті, коли я закінчу його перегляд.

— Ділан Маккей
джерело

Мій друг Preetum вказав на дурість кодування машини і рішення , коли ми можемо замість цього просто кодувати біт , який говорить чи ні . Я відредагую відповідь, щоб це відобразити.

M

$M$

M (x)

$M(x)$

x \in L

$x\in L$

— Ділан Маккей

Майк Сіпсер використав аналогічний аргумент стиснення у своєму класному документі sciencedirect.com/science/article/pii/0022000088900359 (зауважте, що потрібні йому графіки розширювачів справді були явно побудовані dl.acm.org/citation.cfm?id=273915 )

— Райан Вільямс