Проблема спектра зворотного графіка?

Зазвичай конструюють графік, а потім задають питання щодо розкладання власного значення матриці суміжності (або якогось близького родича, як Лаплаціана ) (також його називають спектрами графа ).

Але як щодо зворотної проблеми? З огляду на власних значень, чи можна (ефективно) знайти графік, що має цей спектр? $n$

Я підозрюю, що в цілому це зробити важко (і може бути еквівалентно GI), але що робити, якщо трохи послабити деякі умови? Що робити, якщо створити умови, щоб не було множини власних значень? А як дозволити графіки, які мають "близькі" спектри за деякою метрикою відстані?

Будь-які посилання чи ідеї будуть вітатися.

Редагувати :

Як вказує Суреш, якщо дозволити неорієнтовані зважені графіки з циклами самовизначення, ця проблема стає досить тривіальною. Я сподівався отримати відповіді на безліч непрямих, невагомих простих графіків, але буду радий і простим незваженим спрямованим графікам.

— user834
джерело

Я думаю, вам може знадобитися змінити запитання на "невзважені непрямі графіки без циклів самоврядування" чи щось подібне? Я можу собі уявити, як побудувати діагональну матрицю з необхідними власними значеннями та оголосити її роз'єднаним графіком із зваженими самовитками?

— Суреш Венкат

Ще простішим запитанням (я не знаю відповіді) є те, як побудувати прості зв’язані графіки, чиї найкращі власні значення задано

— Ярослав Булатов

Альтернативний спосіб постановки питання (версія з простими непрямими графіками): задавши n реальних чисел (у якомусь форматі), вирішіть, чи існує n × n симетрична матриця 0/1 з нульовими діагоналями, така що її n власних значень є задані числа.

— Цуйосі Іто

@Yaroslav: Я не впевнений, але ця проблема звучить для мене важче, ніж той випадок, коли дані всі n власних значень.

— Цуйосі Іто

Крихітне спостереження: Якщо у нас немає обмежень щодо власних значень, проблема дійсно є складною (навіть не включаючи алгоритмічну частину), оскільки це передбачає (не) існування 57-регулярного графа Мура , про які всі відомі власні значення.

— Сісен-Чі Чанг 12 之

Відповіді:

Cvetcovic і ін все в розділі 3.3 «Останні результати в теорії спектрів графів» переходить алгоритми для побудови графів певного спектру в деяких особливих випадках

— Ярослав Булатов
джерело

Навіть запитати, чи існує графік із заданим спектром, є складним питанням. Про це свідчить відкрита проблема визначення того, чи існує графік діапазону 5 діаметра 2 і порядку 3250, спектр якого (якщо він існує) відомий.

— Jernej
джерело

Ще однією перешкодою у визначенні вашого питання є те, що це ізоспектральні (ті ж власні значення), але неізоморфні графіки. Тож заданий перелік власних значень у такому випадку, який графік ви хочете? Можливо, ви просто хочете, щоб алгоритм повернув один випадковий елемент набору таких неізоморфних графіків?

— дабакон
джерело

Я думав про щось уздовж вибірки з простору графіків, які є ізоспектральними, але це здається, що ми швидко переходимо до проблеми, еквівалентної GI (тому мій коментар вище). Для простоти ми могли б обмежитися всіма окремими власними значеннями (які, якщо IIC забезпечує унікальний графік), але я справді просто намагаюся побачити те, що відомо чи там.

— user834

Я не думаю, що окремі власні значення гарантують реконструктивність, ось деякі спектри ізоспектральних графіків на 7 вузлах yaroslavvb.com/upload/save/cstheory-isospectral.png

— Ярослав Булатов

Мені подобається формулювання випадкових елементів. Мені було б цікаво дізнатися, чи еквівалентно це GI. Однією з причин, що мене цікавить формулювання випадкових елементів, - це питання, поставлене в моїй роботі з Arora та Steurer про унікальні ігри, чи графіки з певним спектром можуть бути розширювачами для невеликих наборів. Інтуїтивно можна сподіватися, що випадковий графік із цим спектром стане найкращим можливим розширювачем для всіх заданих розмірів, і тому огляд на зворотні спектри може бути корисним там.

— Боаз Барак

@Yaroslav: Дякую за те посилання та дякую, що мене виправили!

— user834

@ user834: Re: ваш коментар щодо проблеми, еквівалентної GI. Зауважимо, що визначення ізоморфізму графіків з обмеженою множиною власних значень (зокрема, графіків без множини власних значень) можна здійснити за багаточлен.

— Джошуа Грохов