Чи відомий асимптотично складність Колмогорова таблиць істинності проблеми зупинки?

Дозволяє $HALT_n$ позначають рядок довжини $2^n$ що відповідає таблиці істинності задачі про зупинку для введення довжини $n$.

Якщо послідовність Колмогорова складності $K(HALT_n)$ були $O(1)$, тоді один із рядків порад буде використовуватися нескінченно часто, і TM з цією строковою кодовою версією зможе вирішити $HALT$ рівномірно нескінченно часто, що, як ми знаємо, не так.

Більш детальна перевірка аргументу діагоналізації насправді показує це $K(HALT_n)$ принаймні $n - \omega (1)$, тож разом із тривіальною верхньою межею маємо:

$n - \omega(1) \leq K(HALT_n) \leq 2^n + O(1)$

Ця нижня межа відмічена у вступі недавньої праці Фортноу та Сантанама, що вказує на "Нові неоднорідні нижні межі для класів рівномірної складності" , і вони відносять її до фольклору. В основному, якщо рядок поради коротший, ніж довжина введення, ми все одно можемо діагоналізувати машини, що мають щонайменше таку кількість порад.

(Редагувати: Насправді, у більш ранній версії статті вони віднесли його до фольклору, я думаю, зараз вони просто кажуть, що це адаптація Хартманіса та Стеренса.)

Насправді в цій роботі вони стосуються теорем ієрархії часу, і вони констатують речі щодо ресурсу, пов'язаного з $t$часові кроки, а не необмежена складність Колмогорова. Але доказ результату "фольклору" той самий у необмеженій справі.

Однією з причин, чому вони піклуються про поради нижчих меж, є те, що він пов'язаний з нижніми межами ланцюга та дерандомізацією в парадигмі `` твердість проти випадковості ''. Наприклад, якщо канонічна проблема вирішена в часі$2^n$ є таблиці правдивості, які потребують консультацій $2^{\epsilon n}$ щоб обчислити час $2^{\epsilon n}$, то в цих таблицях істинності немає схем розміру $2^{\epsilon n}$ або так $P = BPP$ знаменитим результатом Імпальяццо та Вігдерсона.

Запитуючи о $K(HALT_n)$натомість немає таких програм afaik, але це може бути простіше вирішити. Це також простіше констатувати, відсутність будь-якої залежності від параметру, обмеженого часом - це досить природна проблема, яка, можливо, вже була вивчена.

Чи є кращі нижня чи верхня межі $K(HALT_n)$відомий окрім результату `` фольклору ''? Чи одна із нижньої чи верхньої межі вище?

Примітка. Є ще одна приємна публікація про складність схеми проблеми зупинки, яку можна побачити майже максимальною за аргументом, замальованим Емілем Джерабеком тут: /mathpro/115275/non-uniform-complexity -проблема зупинки

В основному, він використовує трюк, де ми можемо обчислити (з випадковим доступом) лексикографічно першу таблицю істинності (великої) складності схеми в класі $E^{NP^{NP}}$. І ми можемо звести це обчислення до запиту до проблеми зупинки, і це зменшення має низьку складність ланцюга. Тому,$HALT$ повинна мати велику складність ланцюга - якби не вона, ця функція також мала б низьку складність.

Хоча це здається пов'язаним, я не думаю, що цей аргумент нічого не дає $K(HALT_n)$. (Можливо, що обмежена часом Колмогорова складність Росії$HALT$є великим, як мається на увазі пов'язана складність ланцюга, але в міру послаблення обмеження часу складність різко знижується.) Я думаю, що аналогічний аргумент показує, що якби ми мали оракул до проблеми зупинки, ми могли б підтримати випадковий доступ запити до першої лексикографічно ряду, що не стискається. Але ми повинні зробити ряд адаптивних запитів, і це не може бути зведено безпосередньо до$HALT$наскільки мені відомо. Крім того, рядки запиту мають бути експоненціально великими afaik, тому в кінцевому підсумку відображається лише це$HALT_{2^n}$ має складність принаймні $2^n$ афакт, і це не перемагає аргумент `` фольклору ''.

На жаль, на жаль, складність Колмогорова досить слабка $K(HALT_n)$вже відомий якимись іншими аргументами? Можливо, є хитрість із використанням Симетрії інформації?

Або є краща верхня межа, яку я пропустив?

Одне, що може здатися дивним, це те, що повернутися до $DTIME$встановивши, ми очікуємо отримати пораду нижньої межі лише тоді, коли ми скоротимо час нижче наївного алгоритму. Коли у вас є достатньо часу для запуску наївного алгоритму, то, очевидно, він стисливий. У випадку$K(HALT_n)$, часу взагалі немає, тому, можливо, у нас є «той самий» проміжок часу, що і противник, і не слід очікувати, що він буде максимально нестислимим. Тим не менш, діагоналізація працює і в необмеженій обстановці - здається, що для будь-якої машини є машина, яка робить те саме, що і ця машина, а потім робить щось інше, тому завжди є хтось, у кого більше часу, ніж у вас. Тож, мабуть, у противника завжди є більше часу, ніж у нас зрештою ...

Гм, виявляється, насправді є відповідна верхня межа, яка не надто жорстка:

Скласти таблицю істинності $HALT_n$ за обмежений час, єдина інформація, яка потрібна - це кількість машин, що мають довжину опису $n$які зупиняються. Це число не більше$2^{n}$, тому його можна представити о $n$біт. Тоді ми можемо запустити всі такі машини паралельно і запустити їх, поки стільки з них не зупиниться, а решта, як відомо, не зупиняються.

Тож, мабуть, тут фольклорний аргумент жорсткий. Ми маємо

$n - \omega(1) \leq K(HALT_n) \leq n + O(1)$

і $K(HALT_n)$ є лише чітко визначеним до добавки $O(1)$ у будь-якому випадку, залежно від нашого вибору універсальної машини Тьюрінга.

NB: Як милий бонус, цей доказ показує, що $n$-бітовий рядок, що відповідає максимум кількості машин опису $n$ яка зупинка - це несжимаема струна - якби вона була стисливою, то верхня межа тут була б жорсткішою, суперечивши нижній межі.