Класи складності випадкових та малих схем

Нехай певний клас складності і бути рандомізоване аналог визначається як по відношенню до . Більш офіційно ми надаємо поліноміально багато випадкових бітів і приймаємо вхід, якщо ймовірність прийняти перевищує $\mathcal{C}$ $\textrm{BP-}\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $\textrm{BPP}$ $\textrm{P}$ . $\frac{2}{3}$

Відомо, що для класу нерівномірних схем у нас є : $\textrm{BPAC}^0=\textrm{AC}^0$

Міклос Айтай, Майкл Бен-Ор: Теорема про ймовірнісні обчислення з постійною глибиною STOC 1984: 471-474

Чи відомі узагальнення цієї теореми? Наприклад, чи знаємо ми, чи (все ще знаходиться в неоднорідній настройці)? Цей останній питання , здається , як - то нетривіально мені так здається правдоподібним , що, наприклад , в . $\mathrm{BPNC}^1=\mathrm{NC}^1$ $s,t\textrm{-Connectivity}$ $\textrm{BPNC}^1$

Відповідна публікація на тему: /mathpro/35184/use-of-randomness-in-constant-parallel-time

circuit-complexity randomized-algorithms

— CP
джерело

Що спонукає вашу уяву про підключення?

— Michaël Cadilhac

Ви питаєте про класи одноманітних схем? Досить очевидно, що неоднакові класи, такі як

, закриті під оператором BP.

N C^{1}

$\mathrm{NC^1}$

— Еміль Єржабек

Просто використовуйте той же аргумент, що і для P / poly. Вам потрібна лише функція більшості, яка визначена в

. (Аджаю та Бен-Ор потрібно більше працювати, оскільки більшість не доступна в

)

T C^{0} \subseteq N C^{1}

$\mathrm{TC^0\subseteq NC^1}$

A C^{0}

$\mathrm{AC^0}$

— Emil Jeřábek

@ EmilJeřábek ви абсолютно праві. Для кожного не-unifom класу схеми вище

ми маємо

. Дуже дякую.

{TC}^{0}

$\textrm{TC}^0$

BP - C = C

$\textrm{BP}-\mathcal{C}=\mathcal{C}$

— CP

@ EmilJeřábek: Ах, бачу. Я думаю, що це кордон; це, очевидно, не є дослідницьким питанням, але його чітко задавали серйозно хтось із досвідом складності, який просто був введений в оману, намагаючись поширити Айтай-Бен-Ор, а не використовувати більш прямий підхід.

— Джошуа Грохов

Більшість нерівномірних класів складності - включаючи - закриваються під оператором тим же аргументом, що і : використовуючи обмеження Chernoff – Hoeffding, ймовірність помилки може бути зменшена нижче шляхом запуску екземплярів ланцюга з незалежними випадковими бітами паралельно та взяттям голосу більшості; то за зв'язаним об'єднанням послідовність випадкових бітів дає правильний результат для всіх входів довжиною $\mathrm{NC^1}$ $\mathrm{BP}$ $\mathrm{BPP\subseteq P/poly}$ $2^{-n}$ $O(n)$ $2^n$ $n$ одночасно з ненульовою ймовірністю, і зокрема, існує така послідовність. Ми можемо перевести його в ланцюг.

Цей аргумент застосовується до будь-якого класу схем, який закритий при прийнятті більшості паралельних копій ланцюга та фіксації вхідних воріт до констант. На практиці це означає будь-який гідний неоднорідний клас вище , оскільки більшість можна обчислити в . $O(n)$ $\mathrm{TC^0}$ $\mathrm{TC^0}$

Доведення складніше для , оскільки цей клас не обчислює функцію більшості. (Поки я не бачив паперів Ajtai та Ben-Or, я б припустив, що вони використовують якусь приблизну більшість.) $\mathrm{AC^0}$

— Еміль Єржабек
джерело