Складність обчислювального лексикографічно мінімального елемента орбіти

Дані сильні генератори для групи $(G \leq S_n, *)$ діючи на шматочки довжини $n$ і елемент $s \in \{0, 1\}^n$ , як важко обчислити лексикографічно мінімальний елемент $G.s$ , орбіта $s$ в $G$ ?

permutations gr.group-theory complexity

— Самуель Шлезінгер
джерело

Очевидно, що струнний ізоморфізм у розумінні Бабая зводиться до цієї проблеми, як дано

x, y

$x, y$ струнних і групових

G

$G$ ми можемо просто знайти їх мінімальних представників орбіти, як описано вище, і безпосередньо порівняти їх, але не зрозуміло, що якщо струнний ізоморфізм легкий, то це легке слід. Я подивлюся, чи в документі Бабая вказано, як це зробити.

— Самуель Шлезінгер

Папір Бабая не займається цим питанням; на с. 11 він прямо каже, що в роботі не йдеться про питання про нормальні форми. Це не означає, що методи не можуть бути корисними для пошуку нормальної форми, просто це буде нетривіальним внеском.

— Джошуа Грохов

Дякую @JoshuaGrochow Я не впевнений, чи є у мене досвід використання цих методів, але я побачу, що я можу зробити. Це досить важко, навіть якщо це квазіполіномічний спосіб, він мені більше не корисний у тому, як я хотів його використовувати.

— Самуель Шлезінгер

Якщо вас цікавлять конкретні рішення цієї проблеми, я рекомендую вам ознайомитись з публікаціями Т. Юнтільти (яких я цитую у своїй відповіді), особливо його докторською дисертацією та його роботою з графічного ізоморфізму та симетрії загалом.

— Босон

Відповіді:

Ця проблема є $FP^{NP}$ -повне, як показано тут .

Це означає, що лексикографічний лідер орбіти побудований у детермінованому многочленному часі з доступом до а $NP$ -оракул.

— Бозон
джерело

Ця проблема є важкою для NP.

Хоча, можливо, вдасться знайти якусь канонічну форму для рядкового ізоморфізму, скажімо, у квазіполітичний час, не засмучуючи наших сучасних здогадок про те, як виглядає світ складності, знаходження лексикографічно найменшої ізоморфної струни є NP-важким. Саме такий зміст пропозиції 3.1 тут . Насправді вони показують, що це залишається NP-важким навіть коли $G$ - це елементарна абелева 2-група (= кожен нетривіальний елемент $G$ має порядок 2).

— Джошуа Грохов
джерело