Чи є високосиметричні мови, що містять NP або P?

Чи існує , NP- або P-повна мова, яка має якесь сімейство груп симетрії G n (або grouppoid , але тоді алгоритмічні запитання стають більш відкритими), що діють (у поліноміальний час) на множини L n = { l ∈ L ∣ | l | = n } таких, що орбіт мало, тобто таких, що | Л н / Г н | < n c для досить великих n і деяких c , і таких, що G $L$$G_n$$L_n = \{ l \in L \mid |l| = n \}$$|L_n / G_n| < n^c$$n$$c$$G_n$можна згенерувати дано ефективно?$n$

Суть у тому, що якщо ви знайдете таку мову / групу, як ця, і якщо можна знайти нормальні форми під дією поліноміальної групи часу в , то можна зменшити L на P T I M E зменшення до розрідженої мови на обчислення нормальної форми для будь-якого заданого N , маючи на увазі, що P = N P або L = $\mathrm{FP}$$L$$\mathrm{PTIME}$$N$$\mathrm{P = NP}$$\mathrm{L = P}$, залежно від того, ви вибрали мову NP- або P-завершеної спочатку відповідно. Отже, здається, що або немає таких груп із розрідженими орбітами, або обчислення нормальних форм є важким для всіх таких груп, або один з цих результатів буде справдним, в який я думаю, що більшість з нас не вірить. Крім того, здається, що якщо можна обчислити відношення еквівалентності по орбітах замість нормальних форм, все одно можна зробити це нерівномірно в . Сподіваючись, що деякі інші люди мають думки з цього приводу.$\mathrm{P/poly}$

Для NP це здається важко побудувати. Зокрема, якщо ви також можете вибирати (майже) рівномірні елементи зі своєї групи - що справедливо для багатьох природних способів побудови груп - тоді, якщо мова, повна NP, має групову дію групи з кількома орбітами, PH руйнується. Тому що, маючи це додаткове припущення про вибірковість, стандартний протокол для ізоморфізму графа також працює для тестування того, чи є дві струни в одному G n -орбіті. Тоді ми мали б N P ⊆ c o A M / p o l y = c o N P /$\mathsf{coAM}$$G_n$$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{coAM/poly} = \mathsf{coNP/poly}$$\mathsf{ZPP}^{\mathsf{NP}}$

Моя інтуїція полягає в тому, що мова, повна NP цього типу, може спричинити крах поліноміальної ієрархії, як і в теореми Карпа – Ліптона.

Більш конкретно, якщо ви переходите на другий рівень ієрархії поліномів, ви можете використовувати силу ієрархії, щоб відгадати еквівалентність між заданим груповим елементом і деяким представником класу еквівалентності, а потім повернетесь до Карпа –Ліптон-випадок, коли факт, що у вас є поліноміально багато нееквівалентних входів, ставить вас в P / poly.

(Результат повинен бути таким же, як і відповідь Джошуа Грохова, але без додаткового припущення про вибірковість.)