Визначення 5-циклу в розрізненому графіку ефективно.

(перехресне від MathOverflow)

Привіт,

Я читав цю тему: /mathpro/16393/finding-a-cycle-of-fixed-length

Я хочу знайти 5-цикл у графі. Насправді, я дійсно хочу, щоб це був найкоротший непарний цикл довжиною принаймні 5, але, можливо, це трохи поруч. Для своїх цілей я розглядаю і те саме в аналізі складності. $m$ $n$

Чи можемо ми зробити краще, ніж кольорове кодування для пошуку 5-циклу в цьому випадку? Дозвольте дати конкретну постановку мого питання:

Який мінімум $\alpha$ такий, щоб існував алгоритм часу для виявлення циклу довжиною 5? Що таке алгоритм? І що це якщо забороняти такі непрактичні методи, як швидке множення матриці Coppersmith-Winograd? $O(m^\alpha)$ $\alpha$

— Андрій Д. Кінг
джерело

Перехрестя від МО.

— Сісен-Чі Чанг 張顯之

Чи мають ваші графіки якусь особливу структуру, крім розрідженої? (Наприклад, низька виродженість, наприклад.)

— Робін Котарі

Ні, ви можете зробити графік настільки дьявольським, скільки хочете. Насправді мені навіть байдуже, чи графік розріджений: я розглядаю лінійний графік

, а його графік , що лежить в основі

такий, що

(можна вважати, що

простий). Причина, яку я лікую

та

те саме, що я знаю

G

$G$

H

$H$

G = L (H)

$G=L(H)$

H

$H$

| E (H) |

$|E(H)|$

| V (H) |

$|V(H)|$

| E (H) | = | V (G) |

$|E(H)|=|V(G)|$ і я хочу проаналізувати складність з точки зору

та

, але я нічого не можу сказати про те, як

порівнює з

| V (G) |

$|V(G)|$

| E (G) |

$|E(G)|$

| E (H) |

$|E(H)|$

| V (H) |

$|V(H)|$

— Ендрю Д. Кінг

Щоб було зрозуміло, ви не заперечуєте, якщо цикл містить повторювані вершини, правильно?

— user834

Я не допускаю повторних вершин, але для 5-циклу це не має значення, оскільки я припускаю, що графік простий і тому не має 2-х циклів.

— Ендрю Д. Кінг

Відповіді:

Щоб додати відповідь Міхай:

Дійсно, 5- цикльний (і взагалі -цикл) у розріджених графіках можна вирішити набагато швидше, ніж час, використовуючи трюк високого ступеня / низького ступеня. Вам потрібно лише подивитися на інший папір Алона, Юстера і Цвіка: $k$ $O(mn)$

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.101.4120

Наприклад, 5-цикл можна знайти за часом , не залежно від множення матриці. Дивіться теорему 3.4 вищезгаданої роботи. $O(m^{1.67})$

Крім того, хоча зменшити виявлення 5 циклів до розмноження булевої матриці (з постійними факторними накладними витратами) не надто важко, зменшення у зворотному напрямку не з’являється на папері з кольоровим кодуванням. Жорстке скорочення (яке зберігає складність виконання) від булевого множення матриці до 5-циклового виявлення не відоме.

— Райан Вільямс
джерело

Щільний регістр по суті еквівалентний бульовому множенню матриць на кольорове кодування. Дивіться http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.103.5167&rep=rep1&type=pdf .

$O(mn)$

— Міхай
джерело

Дякую! Я погляну на документ Monien, коли зможу отримати доступ до нього.

— Ендрю Д. Кінг