Розширення теореми Рамзі: однотонна, але різноманітна

Як продовження мого попереднього питання , яке вирішив Сісен-Чі Чанг, ось ще одна спроба знайти відповідне узагальнення теореми Рамзі. (Попереднє запитання не потрібно читати; ця публікація є самодостатньою.)

Параметри: задаються цілі числа , і тоді вибирається досить великим. Термінологія: підмножина - це підмножина розміром .$1 \ll d \ll k \ll n$$N$$m$$m$

Нехай . Кожному підмножині призначте колір .$B = \{1,2,...,N\}$$k$$S \subset B$$f(S) \in \{0,1\}$

Визначення:

• $X \subset B$ є монохроматичним , якщо для всіх -подмножествам і .$f(S) = f(S')$$k$$S \subset X$$S' \subset X$
• $X \subset B$ є різноманітні , якщо таке , що і для всіх .$X = \{ x_1, x_2, ..., x_n \}$$x_i < x_{i+1}$$x_i\,\not\equiv x_{i+1} \text{ mod } d$$i$

Наприклад, якщо , то різноманітні, але - ні. Зауважте, що підмножина різноманітного набору не обов'язково різноманітна.$d = 10$$\{ 12, 15, 23, 32, 39 \}$$\{ 12, 15, 25, 32, 39 \}$

Тепер теорема Ремсі каже , що незалежно від того , як ми вибираємо , є монохромні -подмножество . І , очевидно , це тривіально , щоб знайти різноманітний -подмножество .$f$$n$$X \subset B$$n$$X \subset B$

Запитання: чи завжди є різноманітний і однотонний підмножина ?$n$$X \subset B$

Редагувати: Сісен-Чі Чанг показує, що твердження хибне для простого , а як щодо композитного ? У своїх програмах я матиму багато свободи у виборі точних значень , доки я можу зробити їх довільно великими. Вони можуть бути повноваженнями простих чисел, продуктів простих чисел або будь-чого, що необхідно, щоб заява була справжньою.$d$$d$$d \ll k \ll n$

Спершу мушу сказати: ця проблема справді цікава !! І тут я коротко опишу, чому мої попередні підходи провалилися, як було запропоновано в цій мета-публікації про неправильні відповіді.

• Моя перша спроба була спроба побудувати забарвлення, пов'язане з сукупністю k-підмножини, що робить усі n-підмножини немонохроматичними. Лема 1 все ще доступна; але лема 2 помилялася, помічаючи, що якщо k і d пов'язані простими, то n-підмножина$\{1,3,1,3, \ldots\}$ в модулі d, запропонований @Jukka, є протилежним прикладом.

• Друга спроба була доказом теореми; шляхом підрахунку співвідношення різноманітних і однотонних$n$-підрядники, ми сподіваємось, що кількість однотонних перевершить кількість нерізноманітних. Але помилка в моїх розрахунках, помічена @domotorp: співвідношення нерізноманітних не наближатиметься до нуля; воно сходиться до о$n/d$, яка явно більша за $R(n,n;k)^{-n}$.

• Третій повертається до першого методу, і він показує, що для набору слабких параметрів ($n > k+d-1$ і $d \mid k$), теорема хибна. Ми використовували відому лему в адитивній комбінаториці: теорема EGZ.

Четверта спроба пояснюється відповіддю @domotorp; це і розумно, і надихає, і я спробую змінити його доказ, щоб мати справу з усіма параметрами. Але все-таки його метод елегантний, і я ціную цей простий підхід.

Різноманітний n-набір містить принаймні одне k-підмножину, принаймні, щонайменше $k-1$"перемикання між класами мод"; точно, нехай$X = x_1,\ldots,x_n$ бути різноманітним n-набором, і нехай $S^* = x_1,\ldots,x_k$, комутатор визначається, якщо$x_i$ і $x_{i+1}$знаходяться в різних mod-d класах. У нас є вимикачі k-1 для$S^*$.

Нехай k-підмножина $S$бути червоним, якщо$S$має максимум k-2 вимикачі; інакше синій . Попереднім абзацом у нас вже був блакитний, тепер ми це доводимо$n > k+d+1$, є червоний $S$ у будь-якому n-множині $X$. З тих пір$n > d$, є два числа $x_i,x_j$ в тому ж класі mod-d і $j-i \leq d-1$; і відтоді$n > k+d+1$, є принаймні елементи k-2 $x_k$ в $X$ з $k<i$ або $k>j$. І ми можемо побудувати k-підмножину$S$ з $x_i$ поруч з $x_j$, який перемикається лише максимум k-2 рази. Таким чином$S$ - червоний k-підмножина.

Я, можливо, неправильно зрозумів ваше запитання, але якщо ні, я думаю, що це помилково. Пофарбуйте k-множини, членами яких є всі конгруентні модулі d червоним, інші k-множини - синім. Якщо n> kd, то будь-який n-набір повинен містити k-множину, члени якої є всіма модулем d і, таким чином, є червоним. З іншого боку, якщо k-множина містить два послідовні елементи різноманітного n-набору, то він є синім кольором.