Яка інтуїція стоїть за лінійною логікою?

Я намагаюся зрозуміти лінійну логіку, щоб краще зрозуміти системи лінійного типу. Однак, коли я прочитав правила, я не в змозі отримати інтуїцію позаду нього , як я зробив в модальної логіки - означає потрібні , як в Крипкая кадрів потрібні для кожного досяжного світу [ є є можливий mutatis mutandis]. Але я не можу знайти жодного інтуїтивного пояснення подвійності та того, яка пара сполучень / диз'юнкцій (якщо така є) відповідає і . $\Box A$ $A$ $A$ $\Diamond A$ $A$ $\land$ $\lor$

lo.logic type-theory linear-logic

— Мацей П'єхотка
джерело

Оригінальний папір Жирара - це те, куди ви повинні шукати, якщо хочете зрозуміти інтуїцію, що стоїть за ними. Питання, яке є надто загальним, і відповідь - це шукати лінійну логіку на сторінці Вікіпедії.

— Kaveh

Я погоджуюся, що це трохи занадто хліб і, безумовно, рівень дослідження, можливо, вам слід задати питання на CS Stack Exchange. Однак я б заважав вам використовувати оригінальний папір Гірарда як точку входу до лінійної логіки. Можливо, Вікіпедія - це краще місце для початку.

— Даміано Мацца

Це досить широко. Можливо, пропозиція може почати розглядати формули як "валюту", яку можна витрачати замість тверджень істини. Потім, з'єднання може бути означає , що ми можемо проводити як в монету і монету. Іншим видом сполучення може бути , тобто ми можемо вибирати між витрачанням і витратою (але не обома!). Ви можете знайти кілька прикладів у Вікіпедії, як запропонував Даміано.

a \otimes b

$a \otimes b$

a

$a$

b

$b$

a & b

$a \& b$

a

$a$

b

$b$

— чі

@chi Я не впевнений, що "інтерпретація ресурсів" є найкращим способом розуміння подвійності в LL. Інтерпретація процесу набагато зрозуміліша.

— Мартін Бергер

Я не впевнений, що це питання ідеально підходить для CSTheory, але враховуючи, що воно вже збирає відгуки, ось хтось міг би дати відповідь, якби це питання було розміщено на cs.stackexchange .

Щоб зрозуміти поняття лінійної логіки про подвійність , яке змушує кон'юнкцію та диз'юнкцію набагато далі, ніж ми звикли до звичайної логіки, я рекомендую не думати про лінійну логіку з точки зору ресурсів (хоча це важливе читання). Замість цього розгляньте лінійні логічні формули як процеси, які спілкуються через порт / ім’я / канал. Ця інтерпретація була розроблена спочатку в (1), наскільки мені відомо, але про це вже йдеться в оригінальній роботі Жирара. Як малюнок: $(\cdot)^{\bot}$ $A$

(Я не знаю , як правильно центру зображення тут.) Лінійне з'єднання інтерпретується як запущені процеси і в паралель . В процесі обмінюється даними пар на своєму порте, де виходить від і є зв'язку «с. $A \otimes B$ $A$ $B$ $A \otimes B$ $(a, b)$ $a$ $A$ $b$ $B$

Дуалізація (що є запереченням лінійної логіки) перемикає вхід і вихід. Звідси двійник є $(.)^{\bot}$ $A \otimes B$

(A \otimes B)^{⊥} = A^{⊥} ⅋ B^{⊥}

$(A \otimes B)^{\bot} \quad = \quad A^{\bot} ⅋ B^{\bot}$

У цьому читанні являє собою процес , який взаємодіє з . $A^{\bot} ⅋ B^{\bot}$ $A \otimes B$

Еквівалент лінійної логіки диз'юнкції може бути подібний до теоретично-теоретичного читання. Формула

A & B

$A\ \&\ B$

також слід розглядати як два процеси і паралельно, але замість того, щоб активно надсилати повідомлення, вони чекають, коли середовище вирішить, який запуск. Так сидить там, чекаючи її руслу трохи інформації , яка приймає рішення , якщо повинен працювати як або . Це "паралельна" версія в мовах послідовного програмування. Подвійний з є $A$ $B$ $A \& B$ $A \& B$ $A$ $B$ $if/then/else$ $(A \& B)^{\bot}$ $A \& B$

(A & B)^{⊥} = A^{⊥} \oplus B^{⊥}

$(A \& B)^{\bot} \quad = \quad A^{\bot} \oplus B^{\bot}$

можна розглядати як процес надсилання 1 біта інформації на , а саме: "продовжувати як " або "продовжувати як ". Це аналогічно, оцінюється на тоді оцінюється до , за винятком того, що вибір між і тепер робиться середовищем. $A \& B$ $A$ $B$ $if\ true\ then\ P\ else\ Q$ $P$ $if\ false\ then\ P\ else\ Q$ $Q$ $A$ $B$

! -Оператор також має теоретико-теоретичну інтерпретацію: якщо читається як процес, то може бути прочитаний як безмежно багато паралельних процесів

A

$A$

! A

$!A$

A

$A$

У цьому читанні аксіоми лінійної логіки стають простими «проводів» , які пересилають повідомлення від процесів до процесів . Таке трактування аксіом вже є у доказних мережах Жирара (3). $A \vdash A$ $A^{\bot}$ $A$

Ця теоретично-теоретична інтерпретація вплинула і спричинила багато подальшої роботи, наприклад (2) для типів сеансів. Тим не менш, є деякі випадкові випадки, які роблять це трохи незручно, і, наскільки мені відомо, не було зроблено ідеально працювати за повною лінійною логікою навіть у 2017 році.

_{1. С. Абрамський, Обчислювальні інтерпретації лінійної логіки .

2. П. Вадлер, Пропозиції як сесії .

3. Вікіпедія, Доказ мережа .}

— Мартін Бергер
джерело