Це цілий політоп "упаковки підгрупи"?

Нехай - кінцева абелева група, і - багатогранник у визначений як точки задовольняють наступним нерівностям: $\Gamma$ $P$ $\mathbb{R}^\Gamma$ $x$

\begin{array}{cl} \sum_{g \in G} x_{g} \leq | G | & \forall G \leq Γ \\ x_{g} \geq 0 & \forall g \in Γ \end{array}

$\begin{array}{cl} \sum_{g\in G} x_g \le |G| & \forall G \le \Gamma \\ x_g \ge 0 & \forall g \in \Gamma \end{array}$

де $G \le \Gamma$ означає, що $G$ є підгрупою $\Gamma$ . Чи інтеграл $P$ ? Якщо так, то чи можемо ми охарактеризувати його вершини?

Моє запитання спочатку виникло з $\Gamma = \mathbb{F}_2^n$ , де деякі невеликі приклади ( $n = 2,3$ ) припускають, що відповідь "так" і "можливо, але це не просто". Я також спробував циклічну групу на 9 та 10 елементах, а також $\mathbb{F}_3^2$ , де знову багатогранник є інтегралом. Багатогранник НЕ інтеграл при $\Gamma$ будь-який з $S_3$ , $D_4$ і $D_5$ , так Абелеві, по- видимому істотна.

Я мушу зазначити, що якщо ви пишете перший набір рівнянь як $Ax \ge b$ , то $A$ не обов'язково є абсолютно одномодульним (що означає, що політоп є цілісним). Коли $\Gamma = \mathbb{F}_2^3$ , ви можете вибрати три лінійно незалежних $g$ і взяти три $G$ ', що охоплюються кожною парою вибраних елементів $g$ . Отримана підматриця є

[\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{bmatrix}$ аж до перестановки, і так має визначник

\pm 2

$\pm 2$ .

Легко (якщо нудно) характеризувати вершини для груп основного порядку та спостерігати, що вони є цілісними. Я впевнений, що це можна поширити на циклічні групи із замовленням прем'єр-сили. Я не впевнений, що відбувається під час прийому продуктів.

Ця система дуже нагадує ті, що визначають поліматроїди , але замість субмодулярної заданої функції обмеження є "функцією підгрупи", яка, як я підозрюю, є "субмодулярною", як тільки це було визначено правильним шляхом. Тим не менш, методи показу певних поліматроїдів є невід'ємними і тут можуть працювати, але я не розумію, як.

Також аналіз Фур'є може бути актуальним: коли , здається, що вершини, що максимізують є саме точкою з для всіх , а також ті з де є -символом Фур'є (відповідно до стандартних позначень з аналізу булевих функцій), а - порожнім. (Коли порожній, відповідна точка , що також є вершиною.) $\Gamma = \mathbb{F}_2^n$ $\sum_g x_g$ $x_g = 1$ $g$ $x_g = 1 - \chi_S(g)$ $\chi_S$ $S$ $S$ $S$ $x_g = 0$

gr.group-theory fourier-analysis convex-geometry

— Ендрю Морган
джерело

Дійсно цікаве питання! У випадку , можливо, ви зможете отримати деякий пробіг з аналізу, зазначивши, що група автоморфізму діє транзитивно на елементи неідентифікації (насправді, в певному сенсі "n-транзитивно ", оскільки він посилає будь-який n-кордон лінійно незалежних групових елементів до будь-якого іншого такого n-кортежа). Для початку ви можете припустити WLOG, що є найбільшим серед елементів, що не мають ідентичності, і що є другим за величиною ...

F_{2}^{n}

$\mathbb{F}_2^n$

x_{1000 \dots 0}

$x_{1000\dotsc 0}$

x_{e_{2}}

$x_{e_2}$

— Джошуа Грохов

@JoshuaGrochow Дякую! Я не впевнений, що сортування координат - це шлях, але симетрики майже завжди корисні. Ще одне місце їх використання - це обмеження --- автоморфізми все-таки надсилають підгрупи. Щось, що здається корисним, для будь-якої точки усередненням його над усіма автоморфізмами, які фіксують набір обмежень жорстко на . Я не знаю, як зробити цю кількість керованою.

x

$x$

x

$x$

— Ендрю Морган

Так, це дуже цікаве та цікаве питання. (Якщо ви не проти поділитися) Чи була мотивація дивитися на ці конкретні багатогранники? Або просто щось, що натрапило випадково?

— Джон Мачачек

@JohnMachacek Я намагався охарактеризувати розподіли на які виникають із вибору лінійної підпростори з довільного розподілу, а потім однорідно вибравши навмання елемент підпростори. Це можна виразити у вигляді покривного LP, у якого подвійний політоп має вищезгаданий політоп. Той факт, що він стався невід'ємним у таких цікавих обставинах, здавався занадто цікавим, щоб не ділитися з tcs.se.

F_{2}^{n}

$\mathbb{F}_2^n$

— Ендрю Морган

@AndrewMorgan Чому політоп природний чи корисний? Координати тільки розмір захоплення .

x_{i}

$x_i$

G

$G$

— Т ....

Ендрю (запитуючий особи) і я обговорювали це електронною поштою, і ми показали, що здогадка хибна. Політоп не є інтегральним для абелевих груп, навіть не для циклічних груп.

З позитивного боку.

Теорема : Для циклічних груп із порядком , де і - прості і , матриця падіння елементів і підгруп є абсолютно одномодульною. $p^kq$ $p$ $q$ $k\in \mathbb{N}$

Це тому, що сім'я підгруп - це об'єднання двох ламінарних родин.

Отже, це показує, що найменший контрприклад для циклічних груп повинен мати порядок щонайменше . Це фактично пояснює, чому не знайдено невеликого контрприкладу. $2\times 3\times 5 =30$

Ендрю провів кілька обчислень і знайшов контрприклад для циклічної групи порядку . $30$

Контрприклад : , , , і скрізь. Не важко перевірити, чи справа можлива. Тут я перефразую доказ Андрія, що це насправді вершина. Є обмежених обмежень. Ціле обмеження для групи, три підгрупи, породжені відповідно і , і обмеження, що не мають негативу. Оскільки у нас є змінних, - вершина. $x_0=1/2$ $x_2=\frac{30}{2}-\frac{1}{2}=29/2$ $x_3=\frac{30}{3}-\frac{1}{2}=19/2$ $x_5=\frac{30}{5}-\frac{1}{2}=11/2$ $0$ $30$ $2,3$ $5$ $30$ $x$

Можна задатися питанням, чи політоп для є цілісним для всіх . На жаль, Ендрю також виявив неінтеграл політопа для . $\mathbb{F}_2^n$ $n$ $\mathbb{F}_2^4$

— Чао Сюй
джерело