Tardos Функція контрприклад Блюма Претензія

У цій темі спроба Норбета Блума доказування коротко спростована, зазначивши, що функція Tardos є контрприкладом до теореми 6. $P \neq NP$

Теорема 6 : Нехай - будь-яка монотонна булева функція. Припустимо, що існує CNF-DNF-аппроксиматор який може бути використаний для доведення нижньої межі для . Тоді також можна використовувати для доказу тієї самої нижньої межі для . $f \in \mathcal{B}_n$ $\mathcal{A}$ $C_m(f)$ $\mathcal{A}$ $C_{st}(f)$

Ось моя проблема: функція Tardos - це не булева функція, тож як вона задовольняє гіпотезам теореми 6?

У цій роботі вони обговорюють складність функції , яка взагалі не є монотонною булевою функцією, оскільки збільшення країв може зробити більшими, щоб зробити false, коли це було правдою з меншим числом на вході. Функція взагалі не обчислює на а на . $\varphi(X) \leq f(v)$ $\varphi(X)$ $\varphi(X) \leq f(v)$ $1$ $\varphi(X) \geq f(v)$ $1$ $T_1$ $0$ $T_0$

Насправді тестові набори і вибираються точно так, що обчислення на і на з монотонністю означає вашу функцію в точному обчисленні CLIQUE (вони визначають межу 's і ' s у решітці входів ), тож ці зауваження означають, що функція Tardos така ж, як CLIQUE, що явно не відповідає дійсності. $T_1$ $T_0$ $1$ $T_1$ $0$ $T_0$ $1$ $0$

Тим не менше, так багато людей - і таких знаючих людей - стверджують, що функція Tardos забезпечує негайний контрприклад, тому мені повинно бути щось, чого мені не вистачає. Чи можете ви надати детальне пояснення чи доказ для тих із нас, хто є зацікавленими сторонами, але не зовсім на вашому рівні?

cc.complexity-theory np-hardness complexity-classes

— користувач144527
джерело

Хорошим джерелом була б книга Юкни, с.272 (безпосередньо перед теоремою 9.28). З огляду на (не булева) функція , розглянемо булеву функцію яка є порогом : Результат потім застосовується.

ϕ

$\phi$

f_{ϕ}

$f_\phi$

ϕ

$\phi$

f_{ϕ} (G) = {\begin{cases} 1 & if ϕ (G) \geq \sqrt{n} \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_\phi(G) = \begin{cases} 1 & \text{if } \phi(G) \geq \sqrt{n}\\ 0&\text {otherwise}\end{cases}$

— Климент К.

Тож, щоб було зрозуміло, ви говорите мені, що буде оцінювати до на кліках розміру і на графах вершин, викликаних правильним ?

f_{ϕ} (G)

$f_\phi(G)$

1

$1$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

0

$0$

n

$n$

⌊ \sqrt{n} - 1 ⌋

$\lfloor \sqrt{n}-1 \rfloor$

— користувач144527

Зрозуміло, що не стосується жодної . Але функція Tardos заснована на монотонній графічній функції задовольняє . Отже, поріг з робить саме те, що ви говорите. Дивіться кінець розділу 9.8 тут .

ϕ

$\phi$

f_{ϕ}

$f_{\phi}$

ϕ

$\phi$

ω (G) \leq ϕ (G) \leq χ (G)

$\omega(G)\leq \phi(G)\leq \chi(G)$

f_{ϕ}

$f_{\phi}$

ϕ

$\phi$

— Стасіс

Правильно. До речі, я насправді не розумію, чому люди голосують за ваше голосування (придатне з огляду на весь цей шум навколо цього "доказу") питання? Тепер автор цього твердження P! = NP повертається: поясніть, чому "доказ" НЕ працює для функції Tardos. Вкажіть на сторінку X та рядки Y у статті. Підказка: помилка буде у верхній межі кількості помилок, введених під час апроксимації (заперечення можуть знищити безліч попередньо "дійсних" термінів). В іншому випадку (без пояснень) = немає "доказу".

— Стасіс

@Stasys, ваш перший коментар може бути відповіддю.

— Каве

тому ці зауваження означають, що функція Tardos така сама, як CLIQUE. $f$

Коротка відповідь - НІ.

Це лише монотонне "схоже на кліку": приймає всі кліки та відхиляє всі повні -часткові графіки. Однак він може прийняти деякі графіки, відхилені CLIQUE: графіки з але (так звані "не досконалі" графіки). З доповіді Ґрецхеля, Ловаша та Шрівера випливає, що має немонотонну схему розміру полінома. Але, згідно з теоремою 6 у "доказі" , будь-яка монотонна клікоподібна булева функція вимагає немонотонних схем надполіноміального розміру. Отже, одна з цих двох робіт повинна бути $k$ $(k-1)$ $G$ $\omega(G) < k$ $\chi(G)\geq k$ $f$ помилятися. Папір GLS-1981 простояв уже> 35 років ...

Tardos робить наступне. Вона починається з функції графа , де - знаменита тета-функція Ловаша. Основоположним фактом є те, що число простежується між числом кліки та хроматичним числом: . Потім вона використовує той факт, що можна наблизити в поліномічний час. Виходячи з цього, вона визначає графічну функцію з такими властивостями: $\varphi(G):=\vartheta(\overline{G})$ $\vartheta$ $\varphi(G)$ $\omega(G)\leq \varphi(G)\leq \chi(G)$ $\vartheta(G)$ $\phi(G)$

Значення можна обчислити в многочленному часі (у кількості вершин). $\phi(G)$ $n$
$\phi$ є монотонним: додавання ребер може лише збільшити його значення.
$\omega(G)\leq \phi(G)\leq \chi(G)$ має місце для всіх графів . $G$

Тоді (як зазначає Клемент С.) вона визначає бажану монотонну булеву функцію як: iff . За (1) функція має (немонотонну) схему розміру полінома. За (2) - монотонна булева функція. Згідно з (3), приймає всі кліки та відхиляє всі повні -часткові графіки. $f$ $f(G)=1$ $\phi(G)\geq k$ $f$ $f$ $k$ $(k-1)$

Дивіться тут технічні деталі.

— Стасіс
джерело

Папір GLS-1981 тут безкоштовно. Цей документ, у свою чергу, заснований на еліпсоїдному папері Хачіяна-1979. Отже, (принаймні) один із цих трьох паперів повинен бути помилковим?

— Тобіас Мюллер

@Tobias: ну ми майже впевнені, що ці два> 35 старих робіт є правильними (стільки разів відтворені на лекціях хтось уже помітив би помилку). Проблема нинішнього "доказу" полягає в тому, що це "за конструкцією", а не "аргументом" (як у двох згаданих документах). Тоді дамбі дається важко вказати на конкретне місце, де "будівництво" не вдається. Особливо, коли "конструкція" така неточна. Ось чому я думаю, що тепер ОБОВ'ЯЗКОВОСТЬ автора, а не нас, вказувати на це місце (де Тардос не проходить його будівництво.)

— Stasys