Чи існує для будь-яких двох неізоморфних графіків

Я хочу бути дуже конкретним. Хтось знає про спростування чи доказ наступного твердження:

$\exists p \in \mathbb{Z}[x], n, k, C \in \mathbb{N},$

$\forall G, H \in STRUC[\Sigma_{graph}] (min(|G|, |H|) = n, G \not\simeq H),$

$\exists \varphi \in \mathcal{L}(\Sigma_{graph}),$

$|\varphi| \leq p(n) \wedge qd(\varphi) \leq Clog(n)^k \wedge G \vDash \varphi \wedge H \nvDash \varphi.$

Інтуїтивно це має бути правдою, якщо всі неізоморфні графіки можна розрізнити за допомогою висловлювань " $Clog(n)^k$ local"), і я думаю, що це помилково. Звичайно, будь-який графік можна розрізнити за допомогою глибини поліноміального кількісного вимірювача, оскільки ви можете просто вказати свій графік по модулю ізоморфізму:

$\varphi = \exists x_1 \exists x_2 \exists x_3 ... \exists x_n (\forall x (\bigvee_{i \in V_G} x = x_i) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \in E_G} E(x_i, x_j))) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \notin E_G} \neg E(x_i, x_j))) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \in V_G^2 \mid i \neq j}x_i \neq x_j).$

Редагувати: Отже, здається, що інтуїція місцевості у мене помилкова. Формула глибини квантора $k$ має локальність Гайфмана, обмежену $O(3^k)$ , що означає, що формула глибини журналу в основному є глобальною. З цієї причини у мене є думка, що пропозиція виявиться правдивою, що було б набагато важче довести на мій погляд.

— Самуель Шлезінгер
джерело

Як щодо шляху та двох роз'єднаних шляхів, довжина яких

\frac{n}{2}

$\frac{n}{2}$

— Самуель Шлезінгер

Шлях має лише два вузли ступеня , два контури мають чотири. Тобто їх можна виділити за формулою постійного розміру. Можливо, вам пощастить з одним колом проти двох кіл, але я думаю, що їх можна розрізнити за формулою кількісного показника рангу .

1

$1$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Еміль Йерабек

Високі дерева можуть працювати для спростування, якщо вони різняться близько до листя.

— Андрас Саламон

@ EmilJeřábek це правда без рівності?

— Самуель Шлезінгер

@StellaBiderman Істинність формул без рівності зберігається сюрєктивним відображенням (тобто збереженням відносин обома способами) гомоморфізмів. Наприклад, у випадку графіків, будь-які два графіки без ребер задовольняють однакові пропозиції. Більш загально, можна взяти будь-який графік і підірвати будь-яку вершину в незалежний набір.

— Еміль Єржабек

Дякую моєму колезі Максиму Жуковському за пропозицію цієї відповіді.

Виявляється, відповідь негативна, а контрприклад досить простий. Просто візьміть і за і і для . (Тут - -clique, а - набір ізольованих вершин). Розглядаючи гру Еренфехта, можна показати, що в першому випадку мінімально можлива глибина становить а у другому - . $G=K_m\sqcup \overline{K_m}$ $H=K_{m+1}\sqcup \overline{K_{m-1}}$ $n=2m$ $G=K_m\sqcup \overline{K_{m+1}}$ $H=K_{m+1}\sqcup \overline{K_m}$ $n=2m+1$ $K_s$ $s$ $\overline{K_s}$ $s$ $m$ $m+1$

В роботі "Визначення графіків першого порядку: верхні межі для глибини кількісного визначення" Олега Піхурко, Гельмута Вейта та Олега Вербицького було визначено, що ця межа майже щільна, і будь-які два вершинні графіки відрізняються формулою глибини . $n$ $\frac{n+3}{2}$

— Даніїл Мусатов
джерело