Складність тестування, якщо два набори

Уявіть, у нас є дві величини $m$ множини точок $X,Y\subset \mathbb{R}^n$ . Яка (часова) складність тестування, якщо вони відрізняються лише ротацією? : існує матриця обертання $OO^T=O^TO=I$ така, що $X=OY$ ?

Тут існує проблема представлення реальних значень - для простоти припустимо, що існує (коротка) алгебраїчна формула для кожної координати, така що вартість основних арифметичних операцій може вважатися O (1).

Основне питання, чи ця проблема є в P?

Хоча на перший погляд ця проблема може здатися простою - зазвичай достатньо перевірити норми точок і локальних відносин, як кути, є неприємні приклади, коли вона, наприклад, еквівалентна задачі графіка ізоморфізму .

Зокрема, дивлячись на власні простори матриці суміжності сильно регулярних графіків (СРГ), ми можемо дати їй геометричну інтерпретацію . Нижче наведено найпростіший приклад - два 16 вершинних СРГ, які локально виглядають однаково, але не є ізоморфними:

Матриця суміжності СРГ завжди має лише три власні значення (відомих формул) - дивлячись на власне простір для власного значення 2 вище (ядро ), він має розмір 6 - основи, написаної вище. Ортонормалізуючи його (Грам-Шмідт), ми отримуємо великий простір можливих ортонормальних основ - різниться обертанням , яке обертає «вертикальні вектори»: 16 довжиною 6. Визначте такий набір векторів, як , тут, а відповідно для другого графіка - перетворення питання ізоморфізму графа під питання, якщо і $A-2I$ $O(6)$ $X\subset \mathbb{R}^6$ $|X|=16$ $Y$ $X$ відрізняються лише обертанням. $Y$

Складність полягає в тому, що всі ці точки знаходяться у сфері і відтворюють оригінальні відносини: всі сусіди (6 тут) знаходяться у фіксованому куті <90 градусів, усі не сусідки (9 тут) під іншим фіксованим кутом> 90 градусів, як у схемі малюнок вище.

Таким чином, тестування на основі норм та локальних ракурсів повертається до проблеми ізоморфізму графіка ... але геометрична інтерпретація дозволяє працювати над глобальними властивостями, такими як обертання інваріантів.

$n(n-1)/2$

Зазвичай ми можемо визначити обертання інваріантів - питання полягає у побудові повного набору обертаючих інваріантів: повністю визначення набору обертання модуля.

$x^T A x$ $Tr(A^k)$ $k=1,\ldots,n$ $k$ кожен графік нижче відповідає одному інваріанту обертання багаточлена ступеня 1,2,3,4 :

$p(z)=\prod_{x\in X} (x\cdot (z-x))$

p (z) = \sum_{x \in X} (x \cdot z - a)^{2} (x \cdot z - b)^{2} (x \cdot z - c)^{2}

$p(z)=\sum_{x\in X} (x\cdot z -a)^2 (x\cdot z -b)^2 (x\cdot z -c)^2$

a, b, c

$a,b,c$

Тож чи можемо ми перевірити, чи два поліноми ступеня 6 відрізняються лише обертанням у поліном час? Якщо так, графік ізоморфізму для СРГ є в П.

Чи є більш жорсткі приклади (для тестування, якщо два набори відрізняються лише обертанням), ніж у SRG? Я сумніваюся в цьому, що дозволяє отримати квазіполіноміальну верхню межу завдяки Бабаю (?)

Оновлення : мені було вказано подібність із (вирішеною) ортогональною проблемою Прокруста :

min_{O : O^{T} O = I} ‖ O A - B ‖_{F} achieved for O = U V^{T}, where B A^{T} = U D V^{T}

$\min_{O:O^TO=I} \|OA-B\|_F \quad\textrm{achieved for}\quad O=UV^T,\quad\textrm{ where}\quad BA^T=UDV^T$

від сингулярного розкладання значення. Ми могли б побудувати ці матриці з наших точок, однак, це вимагатиме знання порядку - якого ми не знаємо, і єможливості. $m!$

Ми можемо спробувати, наприклад, Монте-Карло або генетичний алгоритм: переключення деяких точок і тестування поліпшення відстані за допомогою вищезгаданої формули, однак, я підозрюю, що такий евристичний алгоритм може мати експоненціальну кількість локальних мінімумів (?)

— Ярек Дуда
джерело

Що ж, приклади вбивць для алгоритмів практичного графіка ізоморфізму - це не обов'язково SRG. Тут я обговорював два документи Даніеля Нойена та Паскаля Швейцера , які наводять найскладніші приклади. Моя дискусія стверджує, що "багатошвидкісна конструкція ... це в основному нормальна конструкція CFI, застосована до неорієнтованого багатогранного гіперграфа". Ця конструкція додатково модифікується, щоб зробити її жорсткою, що видаляє всі автоматизми. Раніше це не було СРГ, але після нього точно не буде СРГ.

— Томас Клімпель

Я думаю, що пошук основних компонентів точкових наборів та їх перевірка допоможуть, оскільки перетворення PCA має деякі приємні властивості.

— FazeL

ThomasKlimpel, ти можеш сказати щось про власні простори цих інших жорстких прикладів? @FazeL, власні значення кореляційної матриці з PCA є прикладами обертання інваріантів - необхідні умови для розходження лише за обертанням (тривіально для SRG). Проблема полягає в тому, щоб отримати достатню умову, наприклад, через повну основу обертання інваріантів - цілком визначальний набір (або поліном) модуля обертання. Ось загальна побудова для поліномів: arxiv.org/pdf/1801.01058 , питання полягає в тому, як вибрати достатню кількість (відомих) незалежних інваріантів?

— Jarek Duda

Ці графіки вже кольорові. Для фіксованого є кольори, для яких вузли мають такий колір, і кольори, для яких 2 вузли мають цей колір. З точки зору власних просторів, це означає, що ви отримуєте багато власних просторів розмірності і навіть більше власних просторів розмірності . Принаймні, так відбувається, якщо конструкція CFI застосовується до k-регулярного непрямому графіку. (Але не хвилюйтеся, ізоморфізм СРГ теж є відкритою проблемою.)

k

$k$

2^{k - 1}

$2^{k-1}$

2^{k - 1}

$2^{k-1}$

2

$2$

— Томас Клімпель,

Власні простори розмірності насправді можуть розділятися на ще менші власні простори, оскільки навіть для SRG ми маємо більше 1 власного простору, але вищенаведена логіка підказує, що існує лише один власний простір. Подивіться на рисунок 4.2 у коротшій (більш теоретичній) роботі, щоб побачити / зрозуміти, як виглядають ці графіки.

2^{k - 1}

$2^{k-1}$

— Томас Клімпель

Я думаю, що це відкрито. Зауважте, що якщо замість тестування еквівалентності при обертаннях ви вимагаєте еквівалентності під загальною лінійною групою, то тестування еквівалентності поліномів третього ступеня є GI-жорстким ( Agrawal-Saxena STACS '06 , вільно доступна версія автора ), і насправді це на як мінімум настільки ж важко, як тестування ізоморфізму алгебр. Тепер, жорсткість GI не є свідченням того, що ваша проблема не в , як і справді, ваші цілі питання по суті, чи можемо ми поставити GI в $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$ за запропонованим вами підходом. Однак той факт, що еквівалентність кубічної форми вже здається значно важчим, ніж GI (наприклад, ми все ще не знаємо, чи є ізоморфізм алгебри в квазіполітичному часі, на відміну від GI) говорить про те, що (a) люди подумали про цей підхід і (b) це досі відкрито.

Хоча я точно не знаю, чи є подібні результати для ортогональної групи, я був би здивований, якби вони не мали результату (особливо, якщо перейти від 3 до 6 ступеня).

— Джошуа Грохов
джерело

Дякую, я бачу, що мені багато чого читати. Чи випробування, що відрізняються обертанням поліномів, також стали жорсткими для третього ступеня? Кількість коефіцієнтів - O (dim ^ ступінь), обертання має коефіцієнти dim (dim-1) / 2, тому повний опис повороту модуля слід надати O (dim ^ ступінь) незалежних інваріантів обертання. Я знаю, як побудувати інваріанти ротації ( arxiv.org/pdf/1801.01058 ), умова незалежності здається важкою для доказування, але висока залежність здається малоймовірною (?)

— Jarek Duda

@JarekDuda: Той самий аргумент, який ви робите у своєму коментарі, застосовуватиметься до загальної лінійної еквівалентності, за винятком коефіцієнтів вас буде , але це обидва . .. Залежність між інваріантами часто є дуже глибоким питанням. Крім того, це не лише питання про те, скільки незалежних інваріантів вам потрібно, але (а) чи можете ви обчислити, які інваріанти вам потрібні в полі-час, і (б) чи можете ви навіть обчислити значення кожного такого інваріанта в полі-час?

(\binom{d i m}{2})

$\binom{dim}{2}$

d i m^{2}

$dim^2$

Θ (d i m^{2})

$\Theta(dim^2)$

— Джошуа Грохов

Звичайно, якщо тільки можна побудувати велику кількість інваріантів - хоча я не знаю, чи це правда для інших типів еквівалентності (?), Для інваріантів обертання існує конструкція, де кожен графік дає один інваріант, і є систематичні конструкції велика кількість, наприклад, аналогічно графікам циклу довжини k для Tr (A ^ k) інваріантного для многочлена ступеня 2 x ^ T Ax. Для полінома з фіксованим ступенем ми можемо створити достатню кількість (або набагато більше) інваріантів у полі-час - решта проблеми полягає у забезпеченні достатньої кількості незалежних серед них.

— Jarek Duda