Забарвлення плоских графіків

Розглянемо набір плоских графіків, де всі внутрішні грані є трикутниками. Якщо є внутрішня точка непарного ступеня, графік не може бути трикольоровим. Якщо кожна точка інтер'єру має рівний ступінь, то вона завжди може бути триколірною? В ідеалі я хотів би невеликий контрприклад.

graph-theory co.combinatorics graph-colouring

— Ленс Фортнов
джерело

Відповіді:

Так, це наслідок теореми трьох кольорів, дивіться внизу тут: http://kahuna.merrimack.edu/~thull/combgeom/colornotes.html

— домоторп
джерело

Спасибі. Чи є у вас посилання на доказ?

— Lance Fortnow

Ви можете подивитися на ці два документи: google.com/… та google.com/…

— Джозеф Малькевич

Додамо до посилань Малькевича: еквівалентність 3-кольоровості та рівномірного ступеня для планарних тріангуляцій зазвичай приписується П. Дж. Хевуду "Про теорему чотириколірної карти". Щоквартально J. Pure Appl. Математика. 29: 270–285, 1898 р. Однак у цих документах, з якими посилався Малькевич, є більше сказати.

— Девід Еппштейн

Також наслідки не згадуються в примітках Халла, лише сама 3-х кольорова теорема. Але з 3-з’єднаного графіка G з трикутними внутрішніми гранями і навіть внутрішніми вершинами можна сформувати максимальний плоский графік 2G з рівними вершинами, просто зшивши дві копії G на зовнішній грані. Якщо G не є 3-з'єднаним, можна 3-х кольорові 3-з'єднані компоненти незалежно.

— Девід Еппштейн

Цей результат поширюється на високі розміри. Тріангуляція двовимірної сфери, так що кожна вершина має рівний ступінь, є (d + 1) кольоровою. Див., Наприклад, цей документ: Джейкоб Е. Гудман та Хіронорі Оніші, Навіть трикутники та забарвлення графіків, Транс. Am. Математика. Соц. 246 (1978), 501–510. $S^3$

— Гіл Калай
джерело