Яка ширина траєкторії 3D-сітки (сітки або решітки) із довжиною бічної сторони k?

Я задав це питання кілька тижнів тому під час mathoverflow , але я не отримав відповіді.

Тут під 3D-сіткою бічної довжини я маю на увазі графік з і $k$ $G=(V,E)$ $V= \{1,\ldots,k\}^3$ , тобто вузли розміщуються на тривимірних цілочисельних координатах між 1 і , а вузол з'єднаний не більше ніж з 6 іншими вузлами, які відрізняються точно однією координатою на одну. $E=\{( (a,b,c) ,(x,y,z) ) \mid |a-x|+|b-y|+|c-z|=1 \}$ $k$

Як називається цей графік? Я буду використовувати 3D сітку, але, можливо, 3D-сітка або 3D-решітка - це те, до чого звикли інші люди.

Яка ширина або пропускна здатність цього графіка? Це вже десь опубліковано?

Я вже знаю , що , тобто це дійсно менше , ніж . Для мене це говорить про те, що стандартні аргументи, що показують, що 2D-сітка має ширину і ширину шляху , не буде легко узагальнити. $tw(G) = (3/4) k^2 + O(k)$ $k^2$ $k\times k$ $k$

Щоб побачити це, ми розглянемо декомпозицію шляху, яка "змітає" сітку, використовуючи переважно множини вузлів форми . Дотримуйтесь , бути найбільшим таким набором. Множини між і $S_c= \{(x,y,z)\mid x+y+z = c\}$ $|S_c| \leq (3/4) k^2 + O(k)$ $S_{3/2 k}$ $S_c$ створюються підмітанням лінії та потребуютьдодаткових вузлів щоб бути роздільниками. Точніше, використовуйте множини $S_{c+1}$ $O(k)$ $S_{c,d} = \{(x,y,z)\mid (x+y+z = c \wedge x \leq d ) \vee (x+y+z = c \wedge x \geq d ) \}$ як розкладання пробігу . $G$

У мене також є ідея доказу, яка показує , але це ще не закінчено. $tw(G) = \Omega(k^2)$

— Ріко Яків
джерело

для

. Я щось пропускаю?

| S_{c} | = Ω (k^{2})

$|S_c| = \Omega(k^2)$

c = ⌊ k / 2 ⌋

$c=\lfloor k/2 \rfloor$

— Саріель Хар-Пелед

Звичайно. Але

використовується лише у верхній межі. Що мене дійсно хвилює - це нижня межа.

S_{c}

$S_c$

— Ріко Яків

Вас може зацікавити цей документ: springerlink.com/content/3nmjlc1g5emx9vpk . Якщо ви можете вирахувати «номер черги» ваш граф, то вам буде надано нижній кордон на його шляху-ширину , використовуючи теорему 1 , в якому говориться , що

для будь-якого графа

q n (G) \leq p w (G)

$\mathsf{qn}(G) \leq \mathsf{pw}(G)$

G

$G$

— Матьє Шапель

Ой. Я бачу. Ви мали в виду

(3 / 4) k^{2}

$(3/4)k^2$

— Саріель Хар-Пелед

@Sariel: я змінив питання, щоб уникнути такої ж плутанини.

— Tsuyoshi Ito

Відповіді:

Ширина шляху може бути визначена як наслідок деяких відомих результатів. FitzGerald [2] показав, що пропускна здатність дорівнює $P^3_k$ $P^3_k$ $\lfloor \frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{2} k \rfloor$ $P^3_k$ $\lfloor \frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{2}k \rfloor$

$P^3_k$

FYI: Я щойно подав англомовну версію нашої роботи в arXiv.

Б. Болобас та І. Лідер, Компресії та ізопериметричні нерівності, Дж. Комбін. Теорія Сер. А 56 (1991) 47-62.
CH FitzGerald, Оптимальна індексація вершин графіків, Math. Склад. 28 (1974), 825–831.
Л.Г. Харпер, Оптимальні нумерації та ізопериметричні задачі на графах, Дж. Комбін. Теорія 1 (1966) 385-393.
$n$
$n$

— Йота Отачі
джерело

Дякуємо за те, що люб'язно поділилися своїм новим результатом (і папером!) Також ласкаво просимо до TCS SE :)

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@ Hsien-Chih: Ви змусили мене поділитися нашим результатом :-) Дякую. Насправді я теж новачок для arXiv.

— Йота Отачі

Ширина траєкторії 3D-сіток була вивчена Рьогеєм Судою, Йотою Отачі та Коїчі Ямазакі в статті " Ширина шляху 3-х мірних сіток" IEICE Tech. Звіт, 2009.

У рефераті статті стверджується, що

У цій роботі ми наводимо пропускну здатність тривимірних сіток у закритому вигляді, визначаючи їх граничну ширину вершин.

Однак точна межа не вказана в рефераті, і в даний час я не можу отримати доступ до повної статті. Можливо, ви можете зв’язатися з авторами приватно і опублікувати відповідь на це питання самостійно, якщо автори хочуть поділитися результатом.

— Сісен-Чі Чанг 張顯之
джерело

Зауважте, що папір написаний японською мовою.

— Цуйосі Іто

@Tsuyoshi: Так, нам може знадобитися ваша допомога :)

— Hsien-Chih Chang 張顯之

P_{ℓ} \times P_{m} \times P_{n}

$P_{\ell}\times P_{m}\times P_{n}$

ℓ m

$\ell m$

ℓ + m \leq n + 2

$\ell + m \leq n + 2$

ℓ m - ⌈ (\frac{ℓ + m - n - 1}{2})^{2} ⌉

$\ell m - \lceil (\frac{\ell+m-n-1}{2})^2 \rceil$

P_{k}

$P_k$

k

$k$

ℓ \leq m \leq n

$\ell \leq m \leq n$

p w (P_{k}^{3}) = \frac{3}{4} k^{2} + O (k)

$\mathsf{pw}(P^3_k) = \frac{3}{4}k^2 + O(k)$

Дякую. Схоже, мені не потрібно почувати себе погано, щоб я не знайшов цього посилання. Мені цікаво деталей.

— Ріко Яків