Коротке представлення схем графіків

Клас складності PPAD (наприклад, обчислення різних рівноваг Неша) можна визначити як сукупність політематичних задач пошуку, зведених до кінця лінії :

Кінець лінії : задані схеми S і P з n вхідними бітами і n вихідними бітами, так що P (0 ⁿ ) = 0 ⁿ ! = S (0 ⁿ ) , знайдіть вхід x в {0,1} ⁿ таким, що P (S (x)) ! = X або S (P (x)) ! = X ! = 0 ⁿ .

Схеми або алгоритми, такі як S і P, неявно визначають експоненціально великий графік, який розкривається лише на основі запиту за запитом (щоб зберегти проблему в PSPACE !), Наприклад, в статті Papadimitrou .

Однак я не розумію, як можна було б розробити схему, яка дозволяє довільні графіки (якщо для цього графа є систематична структура, знайти схему набагато простіше). Наприклад, як можна сконструювати схему поліноміального розміру, яка представляє експоненціально довгу спрямовану лінію, з міткою all-0 для вихідної вершини та випадково присвоєними бінарними мітками для всіх інших вершин? Це, мабуть, мається на увазі у документах, що стосуються ППАД .

Найближчим із пошуку в Інтернеті є папір Гальперіна / Відгерсона , але описана там схема має дві вершинні мітки і повертає булеву відповідь "Чи суміжні ці вершини?"

Отже, як би ви створили схему поліноміального розміру графіка в експоненціальному розмірі, який приймає n- бітний вхід і виводить n- бітну мітку свого попередника або наступника відповідно? Або навіть, хтось знає про ресурс, який це добре пояснює?

Здається, ваше запитання задає питання: як представити довільні графіки (або навіть графіки довільних шляхів) як схему розміру полінома? Відповідь, ви цього не робите. Кількість різних графіків траєкторій з 2 ⁿ вершинами дорівнює (2 ⁿ ) !, набагато більше, ніж кількість різних мікросхем з воротами n ^c (експоненціальна в n ^c log n). Тому майже всі графіки з такою кількістю вершин не можуть бути представлені лаконічним ланцюгом.

Тому, як ви натякаєте, у певному сенсі лише графіки, які мають високу ступінь структури, можуть бути представлені таким чином. Ось чому цікаві класи складності типу PPAD: незважаючи на структуру, яку ми знаємо, вхідні графіки до проблеми EOL повинні мати, ми, здається, не знаємо, як скористатися структурою, щоб ефективно вирішити проблему.

Якщо я нерозумію ваше запитання, і ви справді запитуєте: як можна зробити схему, яка навіть відповідає вхідним вимогам для EOL, навіть для дуже високоструктурованого графіка: спробуйте графік шляху, який з'єднує вершину x (розглядається як число у двійковій) до x-1 і x + 1, з кінцями на нулі та у 2 ^ n-1. Або якщо ви хочете чогось менш тривіального, що здається складнішим для вирішення EOL для: нехай E і D - функції шифрування та дешифрування для фіксованого ключа у вашій улюбленій криптосистемі, нехай сусіди x у графі будуть E (x) і D (x), і нехай кінці рядка будуть 0 і D (0).

Оскільки більшість графіків на n вершинах є Колмогоровим-випадковим, вони не можуть бути описані схемою (або будь-якою іншою програмою), значно меншою, ніж сам графік. (Якщо ви не знаєте, що означає Колмогоров-випадковий, ви можете в основному прийняти висновок попереднього речення як його визначення. Тоді покладайтеся на той факт, що майже всі рядки є Колмогоровим-випадковим.)

Хоча я не дуже знайомий із цитованими вами творами, але я здогадуюсь, що вони завжди говорять про описувані за схемою графіки. Іншими словами, орієнтуючись на схеми, вони по суті обмежують свою увагу класом графіків, які мають лаконічні схеми (розмір яких логарифмічний за розміром графіка).