Кількість 4 циклів

Нехай - цикл з чотирма вершинами. Для довільного графа з вершинами і m ребрами кажіть , скільки s існує? Чи є нижня межа для цього?$C_4$$G$$n$$m>n\sqrt n$$C_4$

Так, це відомо. Для з достатньо великою неявною константою, будь- який графік вузлів середнього ступеня має загальний s. Це найкраще, оскільки це реалізовано випадковим графіком.$d = \Omega(n^{1/2})$$n$$d$$\Omega(d^4)$$C_4$

Найбільш рання посилання, яку мені відомо про це, - це "Перенасичені кубом графіки та пов'язані з цим проблеми" Ердоса та Симоновиця, де це заявлено без доказів. Є багато доказів там, з верхньою частиною моєї голови см леми 3 тут .