Номер протоколу розділу та детермінованої складності зв'язку

Окрім (детермінованої) складності зв'язку відношення R , ще одним основним показником кількості необхідного зв'язку є номер розділу протоколу p p ( R ) . Зв'язок між цими двома заходами відомий до постійного чинника. Монографія Кушилевіца і Нісана (1997) дає$cc(R)$$R$ $pp(R)$

Щодо другої нерівності, то легко дати (нескінченну родину) відношень з log 2 ( p p ( R ) ) = c c ( R ) .$R$$\log_2(pp(R)) = cc(R)$

Щодо першої нерівності, Доер (1999) показав, що ми можемо замінити коефіцієнт в першому зв'язаному на c = 2,222 . На скільки можна покращити першу межу, якщо вона взагалі? $c=3$$c=2.223$

Додаткова мотивація від описової складності: Поліпшення константи призведе до покращення нижньої межі мінімального розміру регулярних виразів, еквівалентного даному DFA, що описує деяку кінцеву мову, див. Gruber та Johannsen (2008). $2.223$

Хоча це питання безпосередньо не пов'язане, Кушилевіц, Лініял і Островський (1999) дали відношення з c c ( R ) / ( 2 - o ( 1 ) ) ≥ log 2 ( r p ( R ) ) , де r p ( R ) - номер розділу прямокутника .$R$$cc(R)/(2-o(1)) \ge \log_2(rp(R))$$rp(R)$

EDIT: Зауважте, що вищезазначене питання еквівалентне наступному питанню складності булевої ланцюга: Яка оптимальна константа така, що кожну булеву формулу DeMorgan з розміром L можна перетворити на еквівалентну формулу глибини не більше c log 2 L ?$c$$c \log_2L$

Список літератури :

• Кушилевіц, Еял; Нісан, Ноам: Складність зв'язку. Cambridge University Press, 1997.
• Кушилевіц, Еял; Лініял, Натан; Островський, Рафаїл: Лінійно-масивна конструкція в складності комунікацій є помилковою, Combinatorica 19 (2): 241-254, 1999.
• Doerr, Benjamin: Складність зв'язку та номер розділу протоколу, Технічний звіт 99-28, Berichtsreihe des Mathematischen Seminars der Universität Kiel, 1999.
• Грубер, Герман; Йогансен, Ян: Оптимальні нижчі межі щодо регулярного розміру вираження з використанням комунікаційної складності. В: Основи програмної науки та обчислювальних структур 2008 (FoSSaCS 2008), LNCS 4962, 273-286. Спрингер.

Гаразд, дозвольте спробувати довести, що двох достатньо, тобто . Вибачте, але іноді я пишу листя замість кількості листів / pp (R), коли число менше 1, я, мабуть, маю на увазі це. Крім того, я зазвичай пишу <замість ≤, щоб поліпшити читати нетекстовий текст.$cc(R)\le 2\log_2(pp(R))$$\le$

Непрямі припустимо, що існує R, для якого це неправда, і візьмемо R з найменшим можливим pp (R), що порушує нерівність. В основному ми повинні показати, що, використовуючи два біти, ми можемо вдвічі зменшити кількість листя у всіх чотирьох результатах дерева протоколу, тоді ми це робимо за допомогою індукції.

$\times$$\times$$\times$$\times$

Тепер ми знаємо, що L + R> 1/2, L, R <1/2 і без втрати спільності ми можемо припустити, що L є не більше R. Ми також знаємо D = A + B + C <1/2. Звідси випливає, що 2L + A + B <1, звідки нам відомо, що або L + A <1/2, або L + B <1/2, це будуть наші два випадки.

Випадок L + A <1/2: Перший Боб повідомляє, належить чи його внесок Y0 чи ні. Якщо ні, у нас залишилось не більше D <1/2 листя. Якщо це так, то Аліса повідомляє, належить чи її вхід XR чи ні. Якщо ні, у нас залишилось не більше L + A <1/2 листя. Якщо це так, то у нас залишилося R <1/2 листя.

Випадок L + B <1/2: Перша Аліса повідомляє, належить чи її вхід XR чи ні. Якщо так, то Боб повідомляє, належить він Y чи ні, залежно від цього у нас залишилися R або B листя. Якщо введення Аліси не в XR, то Аліса повідомляє, чи є її вхід у XL чи ні. Якщо це так, то у нас залишилося L + B <1/2 листя. Якщо ні, у нас залишилось не більше D <1/2 листя.

У всіх випадках ми робимо. Дайте мені знати, що ви думаєте.

$c\le 2$$c \le 1.73$

Список літератури

Стасіс Юкна. Булева функція Складність: аванси та межі. Спрингер, 2012.

В. М. Храпченко. Про співвідношення складності та глибини. Методи Дискретного Аналізу в синтезі систем управління 32: 76–94, 1978.