Детерміноване зменшення помилок, сучасне?

Припустимо, що існує рандомізований алгоритм (BPP) з використанням бітів випадковості. Природні способи підсилити ймовірність успіху до для будь-якої обраної є $A$ $r$ $1-\delta$ $\delta>0$

Незалежний бал + голос більшості: запускайте незалежно разів і приймайте більшість голосів результатів. Для цього потрібно біт випадковості і підірває час роботи фактором . $A$ $T=\Theta(\log(1/\delta)$ $rT =\Theta(r\log(1/\delta))$ $T=\Theta(\log(1/\delta))$
Попарно незалежних прогонів + Чебишева: запустити «попарно незалежно один від одного» раз, і порівняти з порогом Для цього потрібно біти випадковості, і підриває час роботи коефіцієнтом . $A$ $T=\Theta(1/\delta)$ $rT =\Theta(r/\delta)$ $T=\Theta(1/\delta)$

Карп, Піппенгер і Шипсер [1] (мабуть, я не міг власноруч потрапити на папір, це обліковий запис секонд-хенду) запропонував альтернативні підходи, засновані на сильних регулярних розширювачах: по суті, див. вузли розширювач як випадкове насіння. Виберіть випадковий вузол розширювача, використовуючи випадкові біти, а потім $2^r$ $r$

зробіть коротку випадкову прогулянку довжиною звідти та запустіть на насінні відповідають вузлам на шляху, перед тим, як взяти більшість голосів. Для цього потрібні біти випадковості та підриває час роботи фактором . $T=\Theta(\log(1/\delta))$ $A$ $T$ $r+T = r+\Theta(\log(1/\delta))$ $T=\Theta(\log(1/\delta))$
запустіть на всіх сусідах поточного вузла (або, загалом, на всіх вузлах на відстані від поточного вузла), перш ніж приймати більшість голосів. Це вимагає біт випадковості і підриває час виконання з допомогою фактор, де є ступенем (або для distance- околиць. Налаштування параметрів добре, це закінчується тим , що коштував тут. $A$ $c$ $r$ $T=d$ $d$ $d^c$ $c$ $T=\operatorname{poly}(1/\delta)$

Мене цікавить остання куля, яка відповідає детермінованому зменшенню помилок. Чи відбулося якесь поліпшення [1], зменшивши залежність від ? Який найкращий досягнутий момент - для якого ? ? (Для ? Для ?) $T$ $\delta$ $1/\delta^\gamma$ $\gamma > 1$ $\gamma > 0$ $\textsf{BPP}$ $\textsf{RP}$

Примітка: мене також (дуже) цікавить замість . Як введено в [2], відповідна конструкція тоді вже не є розширювачами, а розсіювачами (див., Наприклад, ці лекційні записки Та-Шми, особливо табл. 3). Я не зміг знайти відповідні межі для детермінованої (ні на один більш випадковий біт, ніж дозволений ) ампліфікації, а також (що ще важливіше) про те, що є сучасними явними дисперсійними конструкціями для відповідного діапазону параметрів. . $\textsf{RP}$ $\textsf{BPP}$ $r$

[1] Карп, Р., Піппенгер, Н. і Шипсер, М., 1985. Проміжок часу у випадковості . На конференції AMS про ймовірнісну обчислювальну складність (т. 111).

[2] Коен, А. та Вігдерсон, А., 1989, жовтень. Розсіювачі, детерміновані підсилення та слабкі випадкові джерела. У 30-му щорічному симпозіумі з основ комп'ютерних наук (с. 14-19). IEEE.

— Климент С.
джерело

Моє розуміння полягає в наступному ( в основному на вищезазначених лекцій Та-Шма , ті ван Melkebeek , і ті , від Cynthia Дворко . Наскільки я можу судити, диспергатори великі , щоб посилити експоненціально дані ще кілька випадкових бітів , але якщо є 0 зайвих шматочків випадковості

— Клемент К.

(якщо хтось бажає використати ці кілька додаткових біт, то лекція Та-Шми має дуже великий набір підсумкових таблиць). Без зайвих випадковостей, підхід BPP / RP на основі експандерів виглядає як єдиний (див. Примітки Ван Мелькебека до BPP, Dwork для варіанту RP: обидва дуже схожі та засновані на папері [1], з яких я не вдалося знайти прямий pdf). Очевидно, жоден не дає явного обмеження на ступінь многочлена в , оскільки це залежить від ступеня та розширення графіка розширювача.

p o l y (1 / δ)

$\mathrm{poly}(1/\delta)$

— Климент К.

Це буде принаймні лінійно в : але що це буде для (поточних) найбільш відомих конструкцій графіків розширювачів? Власне, навіть для імовірнісних конструкцій?

1 / δ

$1/\delta$

— Климент К.

Також доречні (але не відповідають на конкретне запитання): Розділ 3.5.4 та Розділ 4 (Проблема 4.6) Псевдовипадковості Саліла Вадхана .

— Климент К.

Чи не в лекціях Ван Мелькебека вже є ? Обмеженою є не більше і ми можемо отримати використовуючи існуючі конструкції. $O(1/\delta)$ $\lambda$ $O(\sqrt{\delta})$ $\lambda = O(1/\sqrt{d})$

У конспектах лекцій Дворка також необхідною умовою є розширення для деякої постійної (дивлячись на точки в відстані c, по суті, використовується живлення для поліпшення розширення). Що знову можна отримати зі ступенем . $C/\delta$ $C$ $O(1/\delta)$

Можливо, є нижня межа за кількістю необхідних пробіжок. $\Omega(1/\delta)$

— гість
джерело

Я бачу - дозвольте перефразувати це, щоб підтвердити, чи правильно я це розумію. Дозволити є оригінал ймовірність помилки, якщо ми маємо спектральний градусів- розширювача на вузлів з власним значенням другого (де є явним, різним для RP та BPP), тоді ми отримуємо перерив у часі роботи . Отже, якщо у нас є сім'я явних -розширювачів з для всіх , , все, що нам потрібно, це для обов'язково задоволений.

α > 0

$\alpha>0$

d

$d$

R = 2^{r}

$R=2^r$

λ \leq \sqrt{δ} \cdot C_{α}

$\lambda \leq \sqrt{\delta}\cdot C_\alpha$

C_{α}

$C_\alpha$

d

$d$

(N, d)

$(N,d)$

λ \leq C / \sqrt{d}

$\lambda \leq C/\sqrt{d}$

N

$N$

d

$d$

d = O_{α} (1 / δ)

$d = O_\alpha(1/\delta)$

— Климент С.

Наприклад, відомо, що довільно великі графи Рамануджана існують (конструктивно) для будь-якого ступеня таким, що є первинною силою. Але чи є у нас явні побудови графіків з для всіх (або, скажімо, для всіх що є потужністю двох)? (Я недостатньо обізнаний з цим питанням, і єдиний результат такого роду, який я міг би знайти, - це конструкція Балу-Лініаля, яка дає і не є чітко вираженою).

d

$d$

d - 1

$d-1$

λ = O (1 / \sqrt{d})

$\lambda = O(1/\sqrt{d})$

n

$n$

n

$n$

O (\sqrt{(\log^{3} d) / d})

$O(\sqrt{(\log^3 d)/d})$

— Климент К.