Які лінійні програми Integer прості?

Намагаючись вирішити проблему, я закінчив виражати її частину як наступну цілу лінійну програму. Тут - усі додатні цілі числа, подані як частина вхідних даних. Зазначений підмножина змінних встановлюється нулем, а решта може приймати додатні інтегральні значення: $\ell,m,n_{1},n_{2},\ldots,n_{\ell},c_{1},c_{2},\ldots,c_{m},w$ $x_{ij}$

Мінімізуйте

$\sum_{j=1}^{m}c_{j}\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}$

На тему:

$\sum_{j=1}^{m}x_{ij}=n_{i}\,\,\forall i$

$\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}\ge w\,\,\forall j$

Мені хотілося б знати, чи ця ціла програма розв’язується в поліноміальний час; моя оригінальна проблема вирішена, якщо вона є, і я повинен спробувати іншим способом, якщо це не так. Отже, моє питання:

Як визначити, чи можна розв’язати певну цілу лінійну програму за багаточлен? Які цілі лінійні програми, як відомо, є простими? Зокрема, чи можна вирішити вищезазначену програму в поліноміальний час? Не могли б ви вказати на деякі посилання на це?

— гфіліп
джерело

Відповіді:

Це особливий випадок транспортної проблеми (або проблема мінімальної вартості потоку), і тому її можна вирішити за багаточлен. Коефіцієнтна матриця абсолютно одномодульна, оскільки є матрицею падіння двопартійного графіка.

Наступні статті Вікіпедії можуть бути корисними.

— Йосіо Окамото
джерело

@Yoshio: Дякую, що відповідає моєму конкретному випадку, коли я його перевірив. Чи знаєте ви про умови, відмінні від повної одномодульності, які гарантують поліноміально-часове рішення?

— gphilip

@gphilip: Я б узагальнив тези тез терміном "цілісність багатогранників", і література з цього приводу величезна. У книзі "Комбінаторна оптимізація: упаковка та покриття" Джерарда Корнуйолса (опублікована у 2001 р.) Описано кілька результатів.

— Йосіо Окамото

A x \leq b

$Ax\le b$

A

$A$

- A

$-A$

A

$A$

[A ∣ - A]

$[A \mid -A]$

Дозвольте мені змінити свої скорочені правила наступним чином. (1) Дублювання ряду підтримує загальну одномодність. (2) Зворот знаку ряду підтримує повну одномодність. Вони повинні виконати роботу.

— Йосіо Окамото

Взагалі важко сказати. Але достатньою умовою є те, що ваша матриця обмеження абсолютно одномодульна, а права частина завжди ціла (у цьому випадку права рука ціла, але вам все одно потрібно перевірити одномодулярність)

Слід поглянути на це: http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_program#Integer_unknowns

— Вініцій дос Сантос
джерело

Я думав про вашу матрицю, і вона виглядає абсолютно одномодно.

— Vinicius dos Santos

@Vinicius: Не могли б ви сказати мені, чому матриця виглядає для вас абсолютно одномодульною? Я не міг цього зрозуміти, незважаючи на коментар Йосіо (будь ласка, дивіться мою відповідь там).

— gphilip

@gphilip: На en.wikipedia.org/wiki/Unimodular_matrix у розділі "Загальні цілком одномодульні матриці" в першому пункті перелічено 4 достатні умови, щоб матриця була одномодульною. Я думаю, що цих умов, разом із ярликом, який прокоментував Йошіо, достатньо, щоб показати, що проблему можна вирішити за багаточлен.

— Vinicius dos Santos

@gphilip: Яка мотивація для цієї лінійної програми?

— Vinicius dos Santos

@Vinicius: Ми намагаємось вирішити проблему, сформульовану в термінах, змінюючи вхідну матрицю певним чином, щоб отримати іншу матрицю з деякими хорошими властивостями. Цей LP вийшов з однієї підпроблеми під час процесу.

— gphilip

Ціла програма з лише рівностями може бути розв'язана лінійною програмою.

— Т….
джерело

це здавалося важливим заради себе.

— Т ....

Я б не називав це цілою програмою. Це система лінійних рівнянь над цілими числами, вирішувана ефективно за допомогою обчислення нормальної форми Ерміта.

— Сашо Ніколов

@SashoNikolov вироджений випадок, але, безумовно, дійсний.

— Т ....

чому негативне голосування?

— Т ....