Методика повернення порядку квантових ефірів

Загальновідомо, що в цілому порядок універсальних та екзистенційних кількісних показників неможливо змінити. Іншими словами, для загальної логічної формули ,$\phi(\cdot,\cdot)$

$(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \quad \not\Leftrightarrow \quad (\exists y)(\forall x) \phi(x,y)$

З іншого боку, ми знаємо, що права частина є більш обмежуючою, ніж ліва; тобто $(\exists y)(\forall x) \phi(x,y) \Rightarrow (\forall x)(\exists y) \phi(x,y)$ .

Це питання фокусується на методах отримання $(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \Rightarrow (\exists y)(\forall x) \phi(x,y)$ , коли це має місце для $\phi(\cdot,\cdot)$ .

Діагоналізація - одна з таких методик. Я перший бачити це використання діагональних в паперовій Релятивизация в $\mathcal{P} \overset{?}{=} \mathcal{NP}$ Питання (дивіться також коротку записку Каца ). У цій роботі автори спочатку доводять, що:

Для будь-якої детермінованої оракулової машини многочленного часу М існує мова B така, що L_B \ ne L (M ^ B)$L_B \ne L(M^B)$ .

Потім вони змінюють порядок кількісних показників (використовуючи діагоналізацію ), щоб довести, що:

Існує мова B така, що для всіх детермінованих, М є .$L_B \ne L(M^B)$

Ця методика використовується в інших роботах, таких як [CGH] і [AH] .

Я знайшов іншу техніку в доведенні теореми 6.3 [ІЧ] . Він використовує комбінацію теорії вимірювань та принципу голубої ями, щоб змінити порядок кількісних показників.

Хочу знати, які інші методи використовуються в інформатиці, щоб змінити порядок універсальних та екзистенційних кількісних показників?

Повернення кванторів є важливою властивістю, яка часто відстає від добре відомих теорем.

Наприклад, в аналізі різниця між і - різниця між точковою та рівномірною безперервністю. Добре відома теорема говорить, що кожна точкова безперервна карта рівномірно безперервна за умови, що область є приємною, тобто компактною .$\forall \epsilon > 0 . \forall x . \exists \delta > 0$$\forall \epsilon > 0 . \exists \delta > 0 . \forall x$

Насправді компактність лежить в основі зміни кількості кількісних показників. Розглянемо два типи даних і з яких є явним, а є компактним (див. Нижче для пояснення цих термінів), і нехай є відношенням між і напіврозрізним . Заява можна прочитати так: кожна точка в покрита деяким . Оскільки множини є "обчислено відкритими" (напіврозрізними) і$X$$Y$$X$$Y$$\phi(x,y)$$X$$Y$$\forall y : Y . \exists x : X . \phi(x,y)$$y$$Y$$U_x = \lbrace z : Y \mid \phi(x,z) \rbrace$$U_x$$Y$компактний, існує кінцевий підкриття. Ми довели, що означає Часто ми можемо скоротити існування кінцевого списку до одиниці . Наприклад, якщо лінійно впорядкований і є монотонним у відносно порядку, то ми можемо вважати, що є найбільшим з .

$$\forall y : Y . \exists x : X . \phi(x,y)$$ $$\exists x_1, \ldots, x_n : X . \forall y : Y . \phi(x_1,y) \lor \cdots \lor \phi(x_n, y).$$ $x_1, \ldots, x_n$$x$$X$$\phi$$x$$x$$x_1, \ldots, x_n$

Щоб побачити, як цей принцип застосовується у звичному випадку, давайте подивимось на твердження, що - це неперервна функція. Ми зберігаємо як вільну змінну, щоб не плутатись із зовнішнім універсальним кількісним показником: Оскільки є компактним, а порівняння дій є напівроздільним, висловлювання є напівроздільним. Позитивні результати явні і компактні, тому ми можемо застосувати принцип: $f : [0,1] \to \mathbb{R}$$\epsilon > 0$

$$\forall x \in [0,1] . \exists \delta > 0 . \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon.$$ $[x - \delta, x + \delta]$$\phi(x, \delta) \equiv \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon$$[0,1]$ $$\exists \delta_1, \delta_2, \ldots, \delta_n > 0 . \forall x \in [0,1] . \phi(\delta_1, x) \lor \cdots \phi(\delta_n, x).$$ Оскільки є антимонотонним в найменший з виконує цю роботу, тому нам просто потрібна одна : У нас є однакова безперервність .$\phi(\delta, x)$$\delta$$\delta_1, \ldots, \delta_n$$\delta$ $$\exists \delta > 0 . \forall x \in [0,1] . \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon.$$ $f$

Незрозуміло кажучи, тип даних є компактним, якщо він має обчислюваний універсальний кількісний коефіцієнт і явний, якщо він має обчислюваний екзистенціальний кількісний показник. Цілі числа (негативні) є явними, оскільки для того, щоб переглядати, чи , з напіврозрізним, ми виконуємо паралельний пошук шляхом доопрацювання . Простір Кантора є компактним і відвертим, як це пояснили абстрактні каменні подвійності Пола Тейлора та " Синтетична топологія типів даних і класичних просторів " Мартіна Ескардо (див. Також пов'язане поняття простір для пошуку ).$\mathbb{N}$$\exists n \in \mathbb{N} . \phi(n)$$\phi(n)$$2^\mathbb{N}$

Давайте застосуємо принцип до згаданого вами прикладу. Ми розглядаємо мову як карту від (кінцевих) слів через фіксований алфавіт до булевих значень. Оскільки кінцеві слова знаходяться в обчислювальній біектичній відповідності з цілими числами, ми можемо розглядати мову як карту від цілих чисел до булевих значень. Тобто, тип даних у всіх мовах, аж до обчислюваного ізоморфізму, є саме простором Кантора nat -> bool, або в математичному позначенні , який є компактним. Поліномальна машина Тьюрінга описується його програмою, яка є кінцевим рядком, таким чином, простір усіх (уявлень) машин Тьюрінга можна вважати рівним або .$2^\mathbb{N}$nat$\mathbb{N}$

З огляду на машину Тьюрінга та мову , висловлювання якому йдеться про те, що "мова відхиляється " є напіврозрізним, оскільки воно насправді вирішальне: просто запустіть із введенням і подивіться це робить. Умови нашого принципу виконуються! Заява "кожна машина Oracle має мову такою, що не приймається " пишеться символічно як Після інверсії кванторів отримуємо $M$$c$$\mathsf{rejects}(M,c)$$c$$M$$M$$c$$M$$b$$b$$M^b$

$$\forall M : \mathbb{N} . \exists b : 2^\mathbb{N} . \mathsf{rejects}(M^b,b).$$ $$\exists b_1, \ldots, b_n : 2^\mathbb{N} . \forall M : \mathbb{N} . \mathsf{rejects}(M^{b_1}, b_1) \lor \cdots \lor \mathsf{rejects}(M^{b_n},b_n).$$ Гаразд, тому ми перебуваємо до безлічі мов. Чи можемо ми поєднати їх в єдине? Я залишу це як вправу (для себе і для вас!).

Можливо, вас також зацікавить трохи більш загальне питання про те, як перетворити до еквівалентного виразу форми або навпаки. Наприклад, це кілька способів:$\forall x . \exists y . \phi(x,y)$$\exists u . \forall v . \psi(u,v)$

• Сколем нормальної форми ,
• Гербранд звичайної форми ,
• Функціональна інтерпретація Геделя .

Напружена лема Impagliazzo дозволяє перемикати квантори в контексті припущень обчислювальної твердості. Ось оригінальний папір . Ви можете знайти тони відповідних паперів та публікацій від Googling.

Лема говорить, що якщо для кожного алгоритму A існує великий набір входів, на яких A не вдається обчислити фіксовану функцію f, то насправді існує великий набір входів, на яких кожен алгоритм не в змозі обчислити f з вірогідністю, близькою до 1 / 2.

Цю лему можна довести за допомогою теореми min-max або прискорення (техніка з теорії обчислювального навчання), що є прикладами перемикання кількісних показників.

Для мене "канонічне" доказ теореми Карпа-Ліптона (що ) має цей аромат. Але тут справа не в самому твердженні теореми, в якому кількісні показники повертаються назад, а скоріше «квантори» перетворюються в модель чергування обчислень, використовуючи припущення, що має малі ланцюги.$NP \subseteq P/poly \Longrightarrow \Pi_2 P = \Sigma_2 P$$NP$

Ви хочете імітувати обчислення форми

$(\forall y)(\exists z)R(x,y,z)$

де - предикат багаточленного часу. Це можна зробити, відгадавши малу ланцюг для (скажімо) задоволеності, змінивши таким чином, щоб він перевіряв себе і виробляв задовольняюче завдання, коли його вклад задовольняється. Тоді для всіх створіть екземпляр SAT , еквівалентний і вирішіть його. Таким чином, ви здійснили еквівалентну обчислення форми$R$$C$$C$$y$$S(x,y)$$(\exists z)R(x,y,z)$

$(\exists C)(\forall y)[S(x,y)$ задовольняється відповідно до .$C]$

Основне використання об'єднання, пов'язаного у ймовірнісному методі, можна інтерпретувати як спосіб змінити порядок кількісних показників. Хоча це вже згадується у питанні неявно, тому що доказ Імпальязцо та Рудича є прикладом цього, я вважаю, що варто викласти більш чітко.

Припустимо, що X є кінцевим і що для кожного x ∈ X ми знаємо не тільки те, що деякий y ∈ Y задовольняє φ ( x , y ), але й те, що багато варіантів y ∈ Y задовольняють φ ( x , y ). Формально припустимо, що ми знаємо (∀ x ∈ X ) Pr _{y ∈ Y} [￢φ ( x , y )] <1 / | X | для деякої ймовірнісної міри щодо Y. Тоді зв'язок об'єднання дозволяє нам зробити висновок Pr _{y ∈ Y} [(∃ x ∈ X ) ￢φ ( x , y )] <1, що еквівалентно (∃ y ∈ Y ) (∀ x ∈ X ) φ ( x , y ).

Існують варіанти цього аргументу:

1. Якщо X нескінченно, ми можемо іноді дискретизувати X , розглядаючи відповідну метрику на X та ε- нетто її. Після дискретизації X , ми можемо використовувати з'єднання, як зазначено вище.

2. Коли події φ ( x , y ) для різних значень x майже не залежать, ми можемо використовувати локальну лему Ловаша замість об'єднаної.

Я хотів би додати кілька інших методик. Хоча перші дві методики не є точно для зміни порядку універсальних та екзистенційних кількісних показників, вони мають дуже схожий аромат. Тому я скористався можливістю описати їх тут:

Усереднення лемми: використовується для доказу та багатьох інших цікавих теорем. Неофіційно припустимо, що позначає набір підписників на деяку бібліотеку, позначає набір книг у бібліотеці, а для і пропозиція є істинним iff "абонентом подобається книга ". У леммі усереднення зазначено, що: якщо для кожного існує принаймні 2/3 's у так що має місце, то існує один$BPP \subset P/poly$$S$$B$$s\in S$$b \in B$$\phi(s,b)$$s$$b$$s \in S$$b$$B$$\phi(s,b)$$b \in B$, Таким чином, що , по крайней мере , 2/3 «s в , то пропозиція має місце. (Це можна легко довести через reductio ad absurdum та аргумент підрахунку.)$s$$S$$\phi(s,b)$

Нехай тепер , і нехай бути РРТ машина , яка вирішує . Припустимо, що час роботи обмежений многочленом . Тоді для будь-якого , і принаймні для 2/3 's, , це справедливо, що . Тут, є машина , яка використовує хаотичності , і є характеристичною функцією . Лемма усереднення потім використовується, щоб показати, що для будь-якого$L \in BPP$$M(\cdot)$$L$$M$$q(\cdot)$$x \in \{0,1\}^*$$r$$r \in \{0,1\}^{q(|x|)}$$M_r(x) = \chi_L(x)$$M_r(\cdot)$$M$$r$$\chi_L(\cdot)$$L$$n \in \mathbb{N}$, Існує єдиний , таким чином, що , по крайней мере , 2/3 «и довжини , . Цей сингл служить порадою для , і тому .$r \in \{0,1\}^{q(n)}$$x$$n$$M_r(x) = \chi_L(x)$$r$$M$$BPP \subset P/poly$

NOTE: I re-emphasize that this is not a quantifier switching technique, but it has the same spirit.

Зміна леми: Зачос і Фюрер ввели новий ймовірнісний кількісний коефіцієнт (що приблизно означає "для більшості"). Вони довели, що (опускаючи деталі):$\exists^+$

$(\forall y)(\exists^+z) \phi(x,y,z) \Rightarrow (\exists^+ \mathbf{C})(\forall y)(\exists z \in \mathbf{C})\phi(x,y,z)$

Зауважимо, що це логічна теорема другого порядку.

Використовуючи лемму обміну, вони довели ряд цікавих теорем, таких як теорема БПП та теорема . Я посилаюсь на оригінальний папір для отримання додаткової інформації.$MA \subseteq AM$

Теорема , аналогічна теоремі Короп-Lipton згадується в Райан Вільямс пост: .$coNP \subset NP/Poly \Longrightarrow \Pi_3 P = \Sigma_3 P$