Аксіоми, необхідні для теоретичної інформатики

Це питання надихає аналогічне запитання про прикладну математику в mathoverflow, і те, що натякає на думку, що важливі питання TCS, такі як P vs. NP, можуть бути незалежними від ZFC (або інших систем). Як невелике тло, зворотна математика - це проект знаходження аксіом, необхідних для доведення певних важливих теорем. Іншими словами, ми починаємо з набору теорем, яких ми очікуємо правдивими, і намагаємося вивести мінімальний набір «природних» аксіом, які роблять їх таким.

Мені було цікаво, чи застосовується зворотний математичний підхід до будь-яких важливих теорем TCS. Зокрема до теорії складності. З глухого кута багатьох відкритих питань у TCS здається, що запитувати "які аксіоми ми не пробували?". Як альтернативу, чи було показано, що якісь важливі питання в TCS не залежать від певних простих підсистем арифметики другого порядку?

cc.complexity-theory lo.logic proof-complexity

— Артем Казнатчеєв
джерело

Дві можливі аксіоми, які можуть не бути незалежними: 1) 3-SAT вимагає часу . 2) Враховуючи задовільну формулу 3SAT, кожен ефективний алгоритм задовольняє максимум фракції пунктів. Крім того, множення двох рівних розмірів простих розмірів важко перевернути (ефективно).

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

7 / 8

$7/8$

— Мохаммед Аль-Туркистан

Ця стаття актуальна: Гаррі Бурман, Ланс Форт, Leen Torenvliet, «Шість Гіпотези в пошуках теореми," CCC, п.п.2, 12 - я щорічна IEEE конференція з обчислювальної складності (CCC'97), 1997.

— Мохаммед Аль-Turkistany

Наступне питання пов'язане з цим: cstheory.stackexchange.com/questions/1923/… Більшість TCS можна формалізувати в RCA_0. Теорема другорядних графів є рідкісним винятком. Як підкреслює Ніл, якщо ви хочете нових ідей, тоді шукайте нові ідеї; не шукайте нових аксіом. Двоє зовсім не однакові.

— Тімоті Чоу

Мене бентежить, чому вказуються такі результати, як заяви на або . У моїй першій лекції про TCS ми почали з натуральних чисел та деяких основних функцій. Решта випливає далі. Мабуть, я не розумію питання.

P

$P$

N P

$NP$

— Рафаель

Я щойно це помітив, але, очевидно, Ліптон задав подібне запитання в цьому дописі: rjlipton.wordpress.com/2011/02/03/… , цитуючи: "Цікаво, чи існують методи доказування, які передбачають ідеї, що виходять далеко за межі ПА, які ми маємо не використовується, і це допомогло б розкрити деякі важливі проблеми. Чи слід навчати наших аспірантів методів з областей математики, які лежать поза ПА? " (ПА = Арифметика

— піано

Відповіді:

Так, тема вивчена в доказовій складності. Його називають обмеженою зворотною математикою . Ви можете знайти таблицю, що містить деякі результати зворотної математики на сторінці 8 книги Кука та Нгуєна " Логічні основи складності доказування ", 2010. Деякі попередні студенти Стіва Кука працювали над подібними темами, наприклад, дисертація Нгуєна " Обмежена зворотна математика " , Університет Торонто, 2008.

Олександр Разборов (також інші теоретики доказів складності) має деякі результати щодо слабких теорій, необхідних для формалізації методик складності ланцюга та доведення нижньої межі складності ланцюга. Він отримує деякі результати недоцільності для слабких теорій, але теорії вважаються занадто слабкими.

Усі ці результати доказові в (базова теорія Сімпсона для зворотної математики), тому в AFAIK ми не маємо результатів незалежності від сильних теорій (і насправді такі результати незалежності мали б сильні наслідки, як згадував Ніл, див. Бен -Робота Давіда (та пов'язані з ним результати) щодо незалежності від де є розширенням ). $RCA_0$ $\mathbf{P} vs. \mathbf{NP}$ $PA_1$ $PA_1$ $PA$

— Каве
джерело

Такі результати незалежності були б великими проривами, але я не думаю, що вони мають негайні сильні наслідки; дивіться мій коментар щодо відповіді Ніла.

— Тімоті Чоу

P A

$PA$

P A_{1}

$PA_1$

P A

$PA$

P A

$PA$

P A_{1}

$PA_1$

Як позитивна відповідь на ваше остаточне запитання, докази нормалізації поліморфних лямбда-обчислень, таких як обчислення конструкцій, вимагають принаймні арифметики вищого порядку, а більш сильні системи (наприклад, числення індуктивних конструкцій) є рівносильними з ZFC плюс безліч недоступних.

$P \not= NP$ $PA_1$ $DTIME(n^{\log^{*}(n)})$ $PA$ $PA_1$

Більш філософськи, не робіть помилки, порівнюючи міцність консистенції із силою абстракції.

Правильний спосіб організації теми може містити, мабуть, дикі теоретико-теоретичні принципи, хоча вони не можуть бути вкрай необхідними з точки зору міцності послідовності. Наприклад, сильні принципи колекції дуже корисні для викладення властивостей однаковості - наприклад, теоретики категорій хочуть, щоб слабкі великі кардинальні аксіоми маніпулювали такими речами, як категорія всіх груп, ніби вони були об'єктами. Найвідоміший приклад - алгебраїчна геометрія, в розвитку якої широко використовуються всесвіти Гротендіка, але всі програми (такі як Остання теорема Ферма), очевидно, лежать в арифметиці третього порядку. Як набагато тривіальніший приклад, зауважте, що загальна операція ідентичності та композиції не є функціями, оскільки вони індексуються у всьому всесвіті множин.

$\sigma$ $X$ $X$

EDIT: Логічна система A має більшу міцність узгодженості, ніж система B, якщо консистенція A передбачає консистенцію B. Наприклад, ZFC має більшу міцність консистенції, ніж арифметична Peano, оскільки ви можете довести узгодженість PA в ZFC. А і В мають однакову міцність консистенції, якщо вони є рівномірними. Як приклад, арифметика Пеано є послідовною тоді і лише тоді, коли є айтинг (конструктивна) арифметика.

ІМО, один з найдивовижніших фактів щодо логіки полягає в тому, що міцність послідовності зводиться до питання "яка найшвидше зростаюча функція, яку ви можете довести в цілому?" Як результат, узгодженість багатьох класів логіки може бути лінійно впорядкована! Якщо у вас є порядкові позначення, здатні описати найшвидше зростаючі функції, ваші дві логіки можуть показувати загальну суму, то за допомогою трихотомії ви знаєте, що або одна може довести послідовність іншої, або вони є рівномірними.

Але цей дивовижний факт також є тим, чому міцність послідовності не є правильним інструментом для розмови про математичні абстракції. Це інваріант системи, що включає трюки кодування, і хороша абстракція дозволяє висловити ідею без хитрощів. Однак ми не знаємо достатньо логіки, щоб висловити цю ідею формально.

— Ніл Кришнасвамі
джерело

що таке "міцність консистенції"?

— Суреш Венкат

Це не довели Бен-Девід і Халеві. Ви не помітили їх головного гонщика, "використовуючи наявні в даний час методи". Я інтерпретую їхній документ як наголос на тому, наскільки слабкі наші сучасні методи доказування, а не як багато про питання P = NP.

— Тімоті Чоу