Мінімальна вага лісу даної кардинальності

Це питання було мотивоване запитанням про stackoverflow .

Припустимо, вам задано вкорінене дерево (тобто є корінь і у вузлів є діти тощо) на вузлах (позначено ).n 1 , 2 , … , $T$$n$$1, 2, \dots, n$

Кожна вершина має невід'ємну цілу вагу: .ш $i$$w_i$

Крім того, вам дається ціле число , таке, що .1 ≤ k ≤ $k$$1 \le k \le n$

Вага набору вузлів - сума ваг вузлів: .S ⊆ { 1 , 2 , … , n } ∑ s ∈ S w $W(S)$$S \subseteq \{1,2,\dots, n\}$$\sum_{s \in S} w_s$

Дано вхід , і ,ш я$T$$w_i$$k$

Завдання - знайти підлісок мінімальної ваги * , , такий, що має рівно вузлів (тобто ).T S k | S | = > $S$$T$$S$$k$$|S| = > k$

Іншими словами, для будь-якого підлісового з , такого, що , ми повинні мати . T | S ′ | = k W ( S ) ≤ W ( S ′$S'$$T$$|S'| = k$$W(S) \leq W(S')$

Якщо кількість дітей кожного вузла було обмежено (наприклад, двійкові дерева), то існує алгоритм поліноміального часу, що використовує динамічне програмування.

У мене є відчуття, що це NP-Hard для загальних дерев, але я не зміг знайти жодних посилань / доказів. Я навіть зазирнув сюди , але не зміг знайти щось, що могло б допомогти. У мене є відчуття, що це залишиться NP-Hard, навіть якщо ви (а це може бути простіше довести).$w_i \in \{0,1\}$

Здається, це має бути добре вивченою проблемою.

Хтось знає, чи це проблема NP-Hard / чи відомий алгоритм часу P?

* Суб-ліс являє собою підмножину вузли дерева , такі , що якщо , то всі діти знаходяться в теж. (тобто це розрізнений союз укорінених під дерев ).S T x ∈ S x S $T$$S$$T$$x \in S$$x$$S$$T$

PS: Вибачте, будь ласка, якщо виявиться, що я пропустив щось очевидне і питання справді поза темою.

Подібно до рішення для двійкового дерева, ви можете вирішити його в поліноміальний час на дереві без обмеження ступеня: По-перше, узагальнити задачу таким чином, щоб кожен вузол також мав "count" , і проблема полягає у пошуку підлісових лічильника . Узагальнити підхід до динамічного програмування до цієї версії (він як і раніше працює з таблицею, з урахуванням фіксованого рахунку , який мінімальний ваговий ліс у піддереві, що має точно підрахунок ) S k = ∑ i ∈ S c i C $c_i\in\{0,1\}$$S$$k=\sum_{i\in S} c_i$$C$$C$

Зберігайте оригінальне дерево з вузлами підрахунку 1. Кожен вузол зі ступенем більше 2 розбивається на двійкове дерево з градусами (форма не має значення). Нові вузли мають кількість і вагу 0. Розв’яжіть проблему на новому дереві. Під час читання рішення ігноруйте будь-який новий вузол; це все одно буде ліс такої ж ваги. Оскільки будь-який оригінальний підлісок перетворюється на новий підлісок такої ж ваги, знайдений підлісок є оптимальним.( v $v$$(v)$