Походження поняття про ширину

Сьогодні моє запитання (як завжди) трохи нерозумно; але я б просив вас ласкаво розглянути.

Я хотів дізнатися про генезис та / або мотивацію, що лежить в основі концепції широкої ширини. Я впевнено розумію, що він використовується в алгоритмах FPT, але я не думаю, що це було причиною визначення цього поняття.

Я написав нотатки переписувача на цю тему в класі професора Робіна Томаса . Я думаю, що я розумію деякі застосунки цього поняття (оскільки він передає властивості розділення дерева на розкладений графік), але я чомусь не дуже впевнений, що причиною цієї концепції було розроблено вимірювання близькості графа до дерева.

Я спробую зробити себе більш зрозумілим (я не впевнений, чи зможу, будь ласка, повідомте мене, якщо питання не ясно). Мені хотілося б знати, чи існували подібні поняття в інших місцях математики, звідки це поняття було ніби "запозичене". Моя здогадка буде топологією, але через мою відсутність досвіду я нічого не можу сказати.

Основною причиною того, чому мені цікаво це було б - вперше, коли я прочитав його визначення, я не був впевнений, чому і як це хтось задумає і з якою метою. Якщо питання ще не зрозуміло, я, нарешті, спробую його викласти так - зробимо вигляд, що поняття широкої ширини не існувало. Які природні запитання (або розширення деяких математичних теорем / понять) до дискретних налаштувань призведуть до того, щоб визначити визначення (дозвольте мені використовувати слово, що займається) як широку ширину.

Якщо ви дійсно хочете знати, що призвело Ніла Робертсона і мене до ширини дерев, це зовсім не алгоритми. Ми намагалися вирішити здогад Вагнера, що в будь-якому нескінченному наборі графіків один з них є другорядним, а ми були на початку. Ми знали, що це правда, якщо ми обмежимось графіками без k-вершинного шляху; дозвольте мені пояснити, чому. Ми знали, що всі такі графіки мають просту структуру (точніше, кожен графік без k-вершинного шляху має цю структуру, і кожен графік з цією структурою не має шляху 2 ^ k-вершини); і ми знали, що в кожному нескінченному наборі графіків, які мають цю структуру, один з них був другорядним. Отже, здобуття Вагнера справедливо для графіків із обмеженою максимальною довжиною шляху.

Ми також знали, що це справедливо для графів, які не мають зірки k, як другорядну, знову ж таки тому, що у нас була теорема структури для таких графіків. Ми намагалися шукати більш неповнолітніх, які мали б відповідні теореми про структуру, які ми могли б використати для доведення гіпотези Вагнера, і це привело нас до ширини шляху; виключіть будь-яке дерево як другорядне, і ви отримаєте обмежену ширину шляху, а якщо ви обмежили ширину шляху, то є дерева, які ви не можете мати як неповнолітнє. (Це була важка теорема для нас; у нас в першому документі "Графічні неповнолітні" було надзвичайно тверде доказ, не читайте, це може бути набагато простіше.) Але ми могли б довести гіпотезу Вагнера для графіків із обмеженою шириною шляху, і це означало, що це стосується графіків, які не містять жодного виправленого дерева як неповнолітнього; велике узагальнення шляху та зіркових випадків, про які я згадував раніше.

У всякому разі, з цим зробленим ми намагалися пройти далі. Ми не могли зробити загальні графіки, тому ми подумали про планарні графіки. Ми знайшли теорему про структуру для плоских графіків, яка не містила жодного фіксованого плоского графа як другорядного (це було легко); вона була обмежена шириною дерева. Ми довели, що для будь-якого фіксованого плоского графа всі плоскі графіки, які не містили його як другорядного, мали обмежену ширину дерева. Як ви можете уявити, це було дійсно захоплююче; за збігом обставин теорема про структуру виключення плоских графіків (всередині більших плоских графіків) була природним поворотом теореми структури для виключення дерев (всередині загальних графіків). Ми відчували, що робимо щось правильно. І це дозволить нам довести гіпотезу Вагнера для всіх плоских графіків, оскільки ми мали цю теорему про структуру.

Оскільки ширина дерева працювала для виключення планарних графіків всередині більших планарних графіків, це було природним питанням, чи працювало воно для виключення плоских графіків всередині непланарних графіків - чи правда, що для кожного фіксованого планарного графа всі графіки не містять його як мінор мав обмежену ширину дерева? Це ми довго не могли довести, але саме так ми задумалися про ширину дерева загальних графіків. І коли ми мали концепцію ширини дерева, було досить зрозуміло, що це добре для алгоритмів. (Так, ми не мали уявлення, що Галін вже думала про ширину дерева.)

Ось як ви могли самостійно придумати концепцію ширини дерева.

Припустимо, ви хочете порахувати кількість незалежних наборів у наступному графіку.

Незалежні набори можна розділити на ті, де верхній вузол зайнятий, і на ті, де він незайнятий

Тепер зауважте, що знаючи, чи зайнятий верхній вузол, ви можете порахувати кількість незалежних наборів у кожній підпрограмі окремо та помножити їх. Повторення цього процесу рекурсивно дає алгоритм підрахунку незалежних наборів на основі роздільників графіків.

Тепер, припустимо, у вас більше немає дерева. Це означає, що сепараторів більше, але ви можете використовувати ту саму ідею. Розглянемо підрахунок незалежних множин у наступному графіку.

Скориставшись такою ж ідеєю розбиття проблеми на підпрограми на сепараторі, ви отримаєте наступне

Як і в попередньому прикладі, кожен доданок у сумі розкладається на дві менші задачі підрахунку через роздільник.

Зауважте, що у нас є більше термінів за сумою, ніж у попередньому прикладі, оскільки нам доводиться перераховувати всі конфігурації нашого сепаратора, які потенційно можуть зростати експоненціально з розміром сепаратора (розмір 2 у цьому випадку).

Розкладання дерева - це структура даних для компактного зберігання цих рекурсивних етапів розподілу. Розглянемо наступний графік та його розкладання дерева

Для підрахунку за допомогою цього розкладу слід спочатку виправити значення у вузлах 3,6, що розбиває їх на 2 підпрограми. У першій підпрограмі слід додатково виправити вузол 5, який розбиває його частину на дві менші підчастини.

Розмір найбільшого сепаратора в оптимальному рекурсивному розкладі - саме ширина дерева. Для більших проблем з підрахунком розмір найбільшого сепаратора домінує під час виконання, тому ця кількість настільки важлива.

Щодо поняття ширини дерева, що вимірює наближеність графіка до дерева, то одним із способів зробити його інтуїтивно зрозумілим є альтернативне походження деревної декомпозиції - із відповідності хордальним графам. Спочатку тріангулюйте графік, переходячи вершини в порядку і з'єднуючи всіх сусідів "вищого порядку" кожної вершини.

Потім побудуйте декомпозицію дерева, взявши максимальні кліки та з'єднавши їх, якщо їх перетин є максимальним роздільником.

Рекурсивний підхід для побудови декомпозиції дерев, заснований на рекурсивному розділюванні та триангуляції, рівнозначний. Ширина дерева + 1 - це розмір найбільшої кліки в оптимальній тріангуляції графіка, або якщо графік вже трикутний, просто розмір найбільшої кліки.

Тож у певному сенсі хордальні графіки ширини tw можна розглядати як дерева, де замість одиничних вузлів ми маємо перекриваються кліки розміром не більше tw + 1. Нехордальні графіки - це такі «клікові дерева», де відсутні деякі клікові краї

Ось кілька хордальних графіків та їх ширина дерева.

Я вважаю, що сама широка ширина розпочалась із вже наданої роботи Робертсона Сеймура. Але, здається, деякі попередні попередники:

• Концепція "розмірності" графіка, яка контролювала б поведінку алгоритмів динамічного програмування на ньому, від Bertelé, Umberto; Бріоскі, Франческо (1972), несерійне динамічне програмування .

• Концепція ігор на переслідування та ухилення від графіків, з Парсонс, ТД (1976). "Переслідування-ухилення у графіку". Теорія та застосування графіків . Спрингер-Верлаг. С. 426–441. Один з варіантів цього набагато пізніше виявився еквівалентним широкій ширині: Сеймур, Пол Д.; Томас, Робін (1993), "Пошук графів і теорема мінімальної максимуму для ширини дерев", Журнал комбінаторної теорії, серія B 58 (1): 22–33, doi: 10.1006 / jctb.1993.1027 .

• Ієрархії розділення для плоских графіків, починаючи з Унгара, Пітера (1951), "Теорема про площинні графіки", Журнал Лондонського математичного товариства 1 (4): 256, doi: 10.1112 / jlms / s1-26.4.256 , і продовжуючи з кількома працями Ліптона і Тарджана в 1979–1980 роках. Розмір найбільшого роздільника в ієрархії цього типу тісно пов'язаний із шириною ширини.

Просуваючись вперед до часу, коли ідеї Робертсона-Сеймура, можливо, вже почали плавати навколо, також існує документ раніше, ніж Graph Minors II, який явно пов'язує ідеї переслідування-ухилення та розділення, і який визначає поняття ширини, еквівалентної ширині шляху : Елліс, JA; Sudborough, IH; Тернер, JS (1983), "Розділення графіка та номер пошуку", Зб. 1983 р. Конф. Аллертон з питань зв'язку, управління та обчислень.

У своїй монографії з теорії графів Райнхард Дістель простежує концепцію земної ширини та розкладу дерев до документа Хеліна 1976 року (хоча він не використовує ці назви). Він також приписує цій роботі результат, що графіки плоских сіток мають необмежену широту ширини. Звичайно, він також згадує більш пізні статті Робертсона та Сеймура, які "переробили концепцію, явно не знаючи про роботу Галіна" (вибачте, якщо мій переклад поганий).

• Рудольф Галін. -функції для графіків, J. Geometry 8 (1976): 171–186$S$
• Рейнхард Дістель. Graphentheorie , 3-е німецьке видання, Notizen zu Kapitel 10. (Деякі англійські видання книги доступні в Інтернеті для безкоштовного завантаження.)

Поняття ширини дерева [1] (і аналогічне поняття ширина гілки ) були введені Робертсоном і Сеймуром у своїх семінарних роботах з « Графічні мінори» .

Вони спочатку введені дерево ширина , щоб отримати тестування алгоритму полиномиального часу , якщо граф має підграф стягуваний до нерухомого плоского графу .$G$$H$

Див .: Н. Робертсон, П. Д. Сеймур. Графік неповнолітніх. II. Алгоритмічні аспекти ширини дерева . JCT серія B (1986)