Обчислювальна сума розріджених многочленів у квадраті за час O (n log n)?

Припустимо , що ми маємо поліноми $p_1,...,p_m$ ступеня не більше $n$ , , так що загальна кількість ненульових коефіцієнтів дорівнює (тобто поліноми рідкі). Мене цікавить ефективний алгоритм обчислення полінома:$n>m$$n$

Оскільки цей многочлен має ступінь не більше , розмір вводу та виходу становить . У випадку ми можемо обчислити результат, використовуючи FFT за час . Чи можна це зробити для будь-якого ? Якщо це має якусь різницю, мене цікавить особливий випадок, коли коефіцієнти дорівнюють 0 і 1, а обчислення слід робити через цілі числа.O ( n ) m = 1 O ( n log n ) m < $2n$$O(n)$$m=1$$O(n \log n)$$m<n$

Оновлення. Я зрозумів, що швидке рішення для вищезазначеного означатиме досягнення швидкого множення матриці. Зокрема, якщо ми можемо прочитати як коефіцієнт в . Таким чином, обчислення відповідає обчисленню зовнішнього добутку двох векторів, а обчислення суми відповідає обчислення матричного добутку. Якщо для обчислення є рішення, що використовує час то ми можемо помножити дві -by- матриць на час a i k b k j x i + n j p k ( x ) 2 p k ( x ) 2 ∑ k p k ( x ) 2 f $p_k(x)=\sum_{i=1}^n a_{ik} x^i + \sum_{j=1}^n b_{kj} x^{nj}$$a_{ik} b_{kj}$$x^{i+nj}$$p_k(x)^2$$p_k(x)^2$$\sum_k p_k(x)^2$$f(n,m)$$\sum_k p_k(x)^2$$n$$n$$f(n^2,n)$, що означає, що для потребує значного прориву. Але , де є поточним показником множення матриці, можливо. Ідеї, хтось?$f(n,m)=O(n\log n)$$m\leq n$$f(n,m)=n^{\omega/2}$$\omega$

Розпрямивши многочлен з ненульовими коефіцієнтами займає багато часу висновок ( х 2 я ) , використовуючи звичайний термін-на-перспективи множення, так що це повинно бути кращим , щоб БПФ для цих поліномів , де х я < $x_i$$O(x_i^2)$ . Якщо∑ixi=n, то кількість многочленів зxiперевищує$x_i < \sqrt{n \log n}$$\sum_i x_i = n$$x_i$ -O($\sqrt{n \log n}$, і це буде потрібно часO(N 3 / 2 (логп) 1 / 2 )до площі та об'єднати (як буде інші поліноми). Це поліпшення порівняно з очевиднимO(mnlogn),пов'язаним, колиmдорівнюєΘ($O(\sqrt{n / \log n})$$O(n^{3/2}({\log n})^{1/2})$$O(m n \log n)$$m$.$\Theta(\sqrt{n / \log n})$

Не повна відповідь, але може бути корисною.

Caveat: Він добре працює, лише якщо опори невеликі.$p_i^2$

Для многочлена , нехай S q = { i ∣ a i ≠ 0 } є його опорою, а s q = | S q | бути розміром опори. Більшість p i буде розрідженою, тобто матиме невелику підтримку.$q = a_0 + a_1x + \dots +a_nx^n$$S_q = \{i \mid a_i \not= 0\}$$s_q = |S_q|$$p_i$

Існують алгоритми множення розріджених многочленів і b у квазілінійний час на величину опори виробу a b , див., Наприклад, http://arxiv.org/abs/0901.4323$a$$b$$a b$

Підтримка (міститься в) S a + S b , де сума двох множин S і T визначається як S + T : = { s + t ∣ s ∈ S , t ∈ T } . Якщо опори всіх виробів невеликі, скажімо, лінійні в n загалом, то можна просто обчислити продукти і скласти всі мономеї.$ab$$S_a + S_b$$S$$T$$S + T := \{s + t \mid s \in S, t \in T\}$$n$

Однак дуже просто знайти поліноми і b такі, що розмір опори a b є квадратичним за розмірами опори a і b . У цій конкретній програмі ми проводимо квадрати многочленів. Таким чином, питання в тому , наскільки більше S + S по порівнянні з S . Звичайною мірою для цього є подвоєне число | S + S | / | S | . Є набори з необмеженим подвоєним номером. Але якщо ви можете виключити набори з великим подвоєним числом як опори p $a$$b$$ab$$a$$b$$S + S$$S$$|S + S|/|S|$$p_i$, тоді ви можете отримати швидкий алгоритм для вашої проблеми.

Просто хотів відзначити алгоритм природного наближення. Це, однак, не використовує переваги вкрай.

Ви можете використовувати випадкову послідовність $(\sigma_i)_{i\in[n]}$ , приймаючи $X=\sum_i \sigma_i p_i(x)$ ми можемо обчислити $X^2$ в $n\log n$ раз , використовуючи швидке перетворення Фур'є. Тоді $EX^2 = \sum_i p_i(x)^2 = S$ і $\sqrt{VX^2} = O(S)$. Таким чином, ви можете отриматинаближення$1+\varepsilon$у часі$O(\varepsilon^{-2} n \log n )$.