Нанесення графіків обмеженого перехресного номера

Теорема Фарі говорить, що простий плоский графік можна скласти без перетинів, так що кожне ребро є прямим відрізком.

Моє запитання - чи існує аналогічна теорема для графіків обмеженого числа перетину . Зокрема, чи можемо ми сказати, що простий графік із номером перетину k може бути складений так, що на кресленні є k перетинів, так що кожне ребро є кривою ступеня не більше f (k) для деякої функції f?

EDIT: Як зауважує Девід Еппштейн, легко видно, що теорема Фарі передбачає малювання графіка з перетином числа k, так що кожне ребро є багатокутним ланцюгом з максимум k вигинами. Мені все ще цікаво, хоча кожен край можна намалювати з обмеженими кривими градусами. Сісен-Чі Чанг вказує, що f (k) = 1, якщо k дорівнює 0, 1, 2, 3, і f (k)> 1 в іншому випадку.

Якщо графік має обмежений номер перетину, його можна намалювати з такою кількістю перетинів у полілінійній моделі (тобто кожне ребро є полігональним ланцюжком, набагато частіше в літературі для малювання графіків, ніж алгебраїчні криві з обмеженим ступенем) із обмеженою кількістю вигинів за край. Це також справедливо в більш загальному випадку, якщо на краю є обмежена кількість перетинів. Щоб побачити це, просто плануйте графік (замініть кожне перекреслення вершиною) та застосуйте Fáry.

Тепер, щоб скористатися цим, щоб відповісти на власне питання, що вам потрібно зробити, це знайти алгебраїчну криву, яка довільно близька до заданої полілінії, із ступенем, обмеженим функцією від кількості вигинів поліліній. Це також можна зробити досить легко. Наприклад: для кожного сегменту$s_i$ полілінії, нехай $e_i$ бути еліпсом з високим ексцентриситетом, який дуже близький $s_i$, і нехай $p_i$ бути квадратним многочленом, позитивним зовні $e_i$ і негативні всередині $e_i$. Нехай ваш загальний многочлен приймає форму$p=\epsilon-\prod_i p_i$ де $\epsilon$це невелике додатне реальне число. Потім одна складова кривої$p=0$лежатиме трохи поза з'єднанням еліпсів і може бути використаний для заміни поліліну; її ступінь буде вдвічі більшою за кількість еліпсів, що є лінійною за кількістю перетинів на край.

Це відомо як прямолінійний номер переходу $\overline{\mathsf{cr}}(G)$, що є мінімальною кількістю перетинів серед усіх можливих прямолінійних малюнків графіка $G$. Порівняйте з нормальним номером перетину$\mathsf{cr}(G)$, це можна побачити $\overline{\mathsf{cr}}(G) \geq \mathsf{cr}(G)$. І ваше питання по суті так само, як і запитання, чи$\overline{\mathsf{cr}}(G) = \mathsf{cr}(G)$ якщо $\mathsf{cr}(G) \leq k$ для якоїсь постійної $k$.

У роботі « Межі для прямолінійних перехідних чисел» Біенсток та Дін довели це

Теорема. Якщо$k \leq 3$, ми маємо $\overline{\mathsf{cr}}(G) = \mathsf{cr}(G)$. І за$k \geq 4$, є графіки $G_n$ з $\mathsf{cr}(G) = 4$ і $\overline{\mathsf{cr}}(G) \geq n$.

Для ознайомлення дивіться опитування щодо схрещування номерів Ріхтера та Салазара. Отже, якщо є варіант теореми Фарі на графах з обмеженими числами перетину, її слід обмежувати$\mathsf{cr}(G) \leq 3$.

На невеликий приклад с $\overline{\mathsf{cr}}(G) \neq \mathsf{cr}(G)$, розглянемо повний графік на 8 вершин. Це має$\mathsf{cr}(K_8) = 18$ і $\overline{\mathsf{cr}}(K_8) = 19$.