Нижні межі функції Поріг

У складності дерева рішень булевої функції дуже відомим методом нижньої межі є пошук (приблизний) многочлен, який представляє функцію. Патурі дав характеристику для симетричних булевих (часткових і сумарних) функцій за величиною, що позначається$\Gamma$:

Теорема ( Патурі ): Нехай$f$ бути будь-якою непостійною симетричною функцією і позначати $f_k=f(x)$ коли $|x|=k$ (тобто вага забивання $x$ є $k$). Орієнтовний ступінь$f$, позначається $\widetilde{deg}(f)$, є $\Theta(\sqrt{n(n-\Gamma(f))})$, де $\Gamma(f)=\min\{|2k-n+1|:f_k\neq f_{k+1}\text{ and } 0\leq k\leq n-1\}$

Тепер нехай $Thr_t(x)$ є пороговою функцією, тобто $Thr_t(x)=1$ якщо $x\geq t$ . У цій роботі (див. Розділ 8, стор. 15) сказано, що $\widetilde{deg}(f)=\sqrt{(t+1)(N-t+1)}$ .

Зауважте, що для порогової функції маємо $\Gamma(Thr_t)=|2(t-1)-n+1|$, тому що коли $|x|=t-1$ функція змінюється від 0 до 1. Чи правильно я?

Якщо я безпосередньо застосую теорему Патурі до цього значення $\Gamma$ , я не отримаю нижньої межі порогової функції, повідомленої в інших роботах. Чи вище значення $\Gamma(Thr_t)$ ? Що я пропускаю?

Редагувати: Я також спробував обчислити нижню межу для порогу квантового противника. Спочатку розглянемо теорему.

Теорема (Невагомий квантовий противник): Нехай - часткова булева функція, і нехай і є підмножиною (жорстких) входів. Нехай - відношення, і встановіть для кожного . Нехай позначає мінімальну кількість 1s у будь-якому рядку та будь-який стовпець відносно відповідно, а позначає максимальну кількість одиниць у будь-якому рядку та стовпчику у будь-якому з відношень відповідно. Тоді .$f$$A\subseteq f^{-1}(0)$$B\subseteq f^{-1}(1)$$R\subseteq A\times B$$R_i=\{(x,y)\in R : x_i\neq y_i\}$$1\leq i \leq n$$m,m'$$R$$\ell,\ell'$$R_i$$Q_2(f)=\Omega(\sqrt{\frac{m m'}{\ell \ell'}})$

Якщо я визначу як сукупність усіх входів, число 1s більше або дорівнює , а всі входи з 1s суворо менші за , я отримаю (після деякої алгебри), що .$B$$t$$A$$t$$\frac{mm'}{\ell\ell'}=n^2 \ln(\frac{n}{t}) \ln(\frac{n}{n-t})$

Тому я не отримую тих самих нижчих меж, які повідомляються в інших документах. Тепер порівняємо ці межі. На малюнку нижче показано і без квадратних коренів, порівняння між теоремою Патурі, пов'язаною (синій), протилежною зв'язаною (червона), та зв'язаною зв'язаною з інших робіт (зелений).$n=200$

Мої запитання:

1- Як я можу повідомити про пов'язану інформацію в інших роботах?

2- З малюнка видно, що повідомлена нижня межа (зелена) також нижня межа межі Патурі та межі противника. Хіба це не послаблює "справжню" нижню межу? Наприклад, якщо Патурі каже, що для всіх симетричних функцій у нас це пов'язане, то як можна отримати відповідну верхню межу для квантового підрахунку ( )? Чи це не верхня межа, що порушує теорему Патурі?$\sqrt{(t+1)(n-t+1)}$

Я не знаю, як ви можете дістати чи бачити межу з оригінальної пов'язаної але ось доказ того, що ці межі асимптотично рівні до постійного коефіцієнта:$\sqrt{(t+1)(n-t+1)}$$\sqrt{n(n-\vert (2(t-1) -n+1 \vert )}$

Спочатку дивіться, що (я виключаю оскільки порогова функція завжди ) $t = 0$$1$

Визначте , і .$f_1(t) = n(2t-1)$$f_2(t) = n(2n-2t+1)$$g(t) = (t+1)(n-t+1)$

Тепер вам слід обчислити максимальне значення (згідно у визначених інтервалах) дробів , , і . Ви можете зробити це за допомогою диференціального числення або наближення за допомогою графіка (з досить великим):$t$$f_1(t)/g(t)$$f_2(t)/g(t)$$g(t)/f_1(t)$$g(t)/f_2(t)$$n$

$f_1(t)/g(t) \leq f_1(n/2+1/2)/g(n/2+1/2) \leq \dfrac{n^2}{n^2/4} = 4$

$f_2(t)/g(t) \leq f_2(n/2+1/2)/g(n/2+1/2) \leq \dfrac{n^2}{n^2/4} = 4$

$g(t)/f_1(t) \leq g(1)/f_1(1) = \dfrac{2n}{n} = 2$

$g(t)/f_2(t) \leq g(n-1)/f_2(n-1) = \dfrac{n/2}{n/3} \leq 3/2$

Це дає вам а також бажаний результат

Чи є простіший спосіб побачити / отримати цей результат?