Докази, отримані лише за допомогою теорії спектральних графів

28

У мене все більший інтерес до теорії спектральних графів, що мені здається захоплюючою, і я почав збирати декілька документів, які мені ще належить прочитати більш ретельно, ніж те, що я маю досі.

Однак мені цікаво твердження, яке з'явилося в декількох джерелах (наприклад, там ), яке, по суті, говорить про те, що деякі результати в теорії графа були доведені лише за допомогою методів, заснованих на спектрі, і що поки що немає ніяких доказів обходить ці методи відомо.

Якщо я не пропустив це, я не пригадую, щоб бачив такий приклад у літературі, яку я читав до цього часу. Хтось із вас знає приклади таких результатів?

— Ентоні Лабарре
джерело

Заголовок питання говорить про те, що ви просите доказів, які можна отримати лише за допомогою теорії спектральних графів, але ви просите доказів, які до цих пір були отримані лише теорією спектральних графів. Це два абсолютно різні питання. Отже, як і зараз, назва вводить в оману, через що я змінив її.

— Дейв Кларк

@Dave Я зробив відкат

— Суреш Венкат

5

Глава 7 “ Спектри графіків ” Квєтковича, Дуба та Сакса наводить безліч прикладів теорем, у твердженнях яких чітко не згадуються спектри, але які можна перевірити, використовуючи спектральні методи. Я здогадуюсь, що багато з них не мають відомих неспектральних доказів, хоча вам доведеться перевірити це в кожному конкретному випадку. Безумовно, у багатьох випадках найпростіший або природний доказ використовує спектри.

— Тімоті Чоу

@Timothy Chow: Дякую, я спробую дозволитись.

— Ентоні Лабарре

@TimothyChow: Ви повинні зробити цю відповідь, я думаю.

— Суреш Венкат

12

Теорема Hoffman-Singleton .

— Колін МакКіллан
джерело

Гофман-Сінглтон теж був моєю першою думкою. Але я не знаю, чи існують якісь неспектральні докази і чи ні, якщо це занадто важко або тому, що ніхто не намагався. Стандартний доказ досить акуратний і стислий, тому я не знаю, начебто мотивація отримати неспектральний доказ.

— mhum

9

Як щодо цього результату на квантових обчисленнях.

Маріо Сегеді. Квантове прискорення алгоритмів на основі ланцюга Маркова. У FOCS'04.

Він поширює ланцюги Маркова на квантові ланцюги Маркова і показує, що час квантового удару верхній межами квадратного кореня класичного часу удару. Він робить це, пов'язуючи сингулярні вектори класичного ланцюга Маркова з сингулярними векторами квантового ланцюга Маркова. До цього документу не було відомо жодного зв’язку між випадковими та квантовими прогулянками. Я не уявляю, як це зробити, використовуючи неспектральні методи.

— Маркос Вільягра
джерело

8

Я думаю, що теорема про дружбу (див. Також статтю Хунеке ) є хорошим прикладом, хоча суворо кажучи, зараз існують докази теореми дружби, які уникають власних значень. Докази, які повністю уникають власних значень, набагато менші, ніж спектральні.

(Теорема про дружбу говорить про те, що якщо в кімнаті людей кожна пара має рівно одного спільного друга, то є хтось, хто знає всіх інших.)

— Тімоті Чоу
джерело

8

$L_G$ $G = (V,E,w)$ $G$ $H$ $x \in R^V$

x^{T} L_{H} x (1 - ϵ) \leq x^{T} L_{G} x \leq x^{T} L_{H} x (1 + ϵ) .

$x^T L_H x (1-\epsilon) \le x^T L_G x \le x^T L_H x (1+\epsilon).$

O (n / ϵ^{2})

$O(n/\epsilon^2)$

Навіть незважаючи на те, що твердження теореми, очевидно, не є "властивим спектральним", я не думаю, що відомо, як можна отримати такий результат або результат, як він, не використовуючи спектральні методи.

— Лев Рейзін
джерело

Трохи дискусійним є те, чи твердження не є властивим спектральним. У прямому сенсі ви маєте рацію, але єдине обґрунтування, на яке я можу подумати, чому з’являється квадратична форма, - це спектральність.

— Суреш Венкат

1

F (A) = {x^{T} A x : | | x | |_{2} = 1}

$F(A) = \{x^TAx: ||x||_2 = 1\}$

O (n / ϵ^{2})

$O(n/\epsilon^2)$

Звичайно - але можна уявити, як отримати ці розсіювачі іншим способом. Але, так, це може бути не найкращим прикладом ...

— Лев Рейзін