Мінімальний шлях, що охоплює проблему

Ми працюємо в розподілених комп’ютерах і вирішили проблему складності, яка зводиться до мінімальної проблеми, яка охоплює шлях. Наразі ми не знаємо, як це вирішити. Проблема полягає в наступному:

Нехай - деяке ціле число, а - графік, що містить $k$ $Z_k$ вершини. Ми позначимо кожну вершину пароютаким чином, що. Далі ми називаємо вершини, використовуючи їх мітку. Сукупність ребер ввизначається так: . $\frac{k(k+1)}{2}$ $(i,j)$ $1 \leq i \leq j \leq k$ $Z_k$ $\{ ((i,j),(i',j')) | i' >i \land j' \geq i \}$

Яке мінімальне покриття шляху ? $Z_k$

Читання "Про проблеми з покриттям на дорогах у діаграмах та додатках до тестування програм" Ntafos et al. ми бачили, що мінімальне покриття шляху дорівнює кардиналу найбільшого незрівнянного набору вершин. Ми думали про наступний набір: який має кардинал $S= \{ (i,j) : i \geq k/2 \land j < k/2 \}$ . $\frac{k^2}{4}-\frac{k}{2}$

З повагою,

П’єр

graph-theory co.combinatorics application-of-theory

— П’єр
джерело

j^{'} \geq j

$j' \ge j$

j^{'} \geq i

$j' \ge i$

Z_{k}

$Z_k$

Це здається, що ваш графік є транзитивно закритим DAG, правда? Якщо так (і це, мабуть, перерахунок того, що ви говорите в своєму цитуванні Ntafos et al.) Мінімальна кількість шляхів, необхідних для покриття DAG, - це лише максимальна кількість парно незрівняних елементів; це теорема Ділворта .

Ваш приклад може бути досить простим, що можна ідентифікувати цей максимально незрівнянний набір безпосередньо, але в цілому можна знайти цей набір у поліноміальний час, за допомогою алгоритму, заснованого на зіставленні графіків. Розділ "Доказ через теорему Кеніга" статті Вікіпедії про теорему Ділворта пояснює, як.

— Девід Еппштейн
джерело