Макс-розріз із евклідовим квадратом у невеликих розмірах

$x_1, \ldots, x_n$ $\mathbb{R}^2$ $\|x_i - x_j\|^2$ $\frac 2 3$ $\frac 2 3$

Найгірший приклад, який я можу знайти, - це 3 точки на рівносторонній трикутник, який досягає $\frac 2 3$ . Зауважте, що випадковий розкол може призвести до $\frac 1 2$ , але інтуїтивно зрозуміло, що в малих розмірах можна кластерувати краще, ніж випадково.

Що відбувається при max-k-cut для k> 2? Як щодо розмірності d> 2? Чи є рамки для відповіді на такі запитання? Я знаю про нерівності Чегера, але вони стосуються найменшого розрізу (не максимального скорочення) і працюють лише для звичайних графіків.

(Питання натхнене проблемою кластеризації джерел світла в комп'ютерній графіці для мінімізації розбіжності).

— Мілош Хасан
джерело

Існує просте наближення до 1-2 / k для Max k-Cut, а для k> 2 ви можете знайти хороший великий розріз, але для k = 2 ви можете побачити www-math.mit.edu/~goemans/PAPERS/maxcut -jacm.pdf та пов’язані з цим теми, я думаю, якщо ви знайдете хороший розріз з високою вірогідністю, ви можете сказати, чи є скорочення на 2/3 чи ні, принаймні діапазон можливостей буде обмежений.

— Саїд

зауважте, однак, що тут вагова функція - РОЗВ'ЯЗАНА евклідова відстань, що не є показником.

— Суреш Венкат

Я б здогадався, що у max cut є птас, а може, і багаточастовий алгоритм для цих випадків, але конкретне питання дуже цікаве. Чи зрозуміло, що таке максимальний розріз, коли вершини однаково розташовані по циклу, і що приклад цього класу, який мінімізує максимальний розріз, - це три однаково розташовані вершини? Тому що може бути аргумент, який показує, що кожну конфігурацію точок можна перетворити на "симетричну" конфігурацію, не збільшуючи відношення максимальної скорочення до загальної ваги, і тому це може бути достатньо для розуміння лише симетричних конфігурацій

— Лука Тревісан

Також, що відбувається в одному вимірі? Можна знайти конфігурацію, для якої максимальний розріз становить приблизно 2/3 від загальної ваги (одна точка -1, одна точка +1, 4 бали дуже близькі до нуля; загальна вага 12 і оптимальна є 8). Чи 2/3 є найменшим можливим відношенням максимальної порізки до загальної ваги в 1 вимірі?

— Лука Тревісан

@Luca: Так, 1D також не є тривіальним. Інтуїтивно, константа повинна наближатися до 1/2, оскільки розмір збільшується. Для випадку 2D можна припустити, що центр ваги знаходиться на рівні (0,0) і що всі точки вписуються в одиничне коло. Можливо, є якийсь аргумент "відштовхування точки", який підштовхує точки до одиничного кола, не збільшуючи при цьому вагу зрізу, що могло б допомогти, але я не зміг його зафіксувати.

— Мілош Хасан

Відповіді:

Константа має тенденцію до 1/2 при збільшенні розміру. У d розмірах ви можете мати d + 1 балів на відстані одна від одної, тому сума відстані в квадраті дорівнює а максимальний зріз - не більше , що є часткою від загальної ваги ${d+1 \choose 2}$ $(d+1)^2/4$ $\frac 12 \cdot \frac {d+1}{d}$

— Лука Тревісан
джерело

Гаразд, але чому конфігурація точок d + 1 на відстані 1 одна від одної є найгіршим випадком? Це здається правдоподібним, але чи це очевидно? (І для d = 1, дві точки на відстані 1 одна від одної явно не найгірший; 6-бальна конфігурація, яку ви вказали вище, гірша. Можливо, d = 1 - єдиний патологічний випадок, і він працює для d> = 2?)

— Мілош Хасан

@milos Я не впевнений, що розумію. ми знаємо, що 0,5 досяжно, і цей приклад показує, що ви не можете зробити краще. Однак це не порушує гіпотези 2/3 для площини.

— Суреш Венкат

@Suresh: Те, що я насправді хотів, доводить, що ти можеш робити краще в низьких розмірах, тобто мене цікавить послідовність фактичних значень найгірших констант для конкретних низьких d.

— Мілош Хасан

Я дуже хотів довести фактичний розрив між 1/2 та 2/3 для низьких d. Це може мати цікаві наслідки, тобто ви можете перемогти підсумовування / інтеграцію Монте-Карло (розумно розділивши свою проблему на підпроблеми, а не випадковим чином), якщо ваша проблема суттєво низька (будь-яка кількість).

— Мілош Хасан

Хоча це лише відповідь для великого d, воно показує, які труднощі можуть виникнути в аналізі випадку малого d. Припустимо, що у двох вимірах у вас може бути п’ять точок, парне відстань у квадраті яких становить від 1 до 1,1. Тоді загальна вага становить щонайменше 10, а максимальний розріз - не більше 6,6. Якщо 2/3 є правильною відповіддю на два виміри, ви повинні бути в змозі показати, що якщо у вас є п’ять точок, таких, що всі попарно евклідові відстані принаймні одна, одна з парних евклідових відстаней становить щонайменше . Як ви це аргументуєте?

\sqrt{1.1}

$\sqrt {1.1}$

— Лука Тревісан

Візьміть 3 точки A, B, C на рівносторонній трикутник і додайте в центрі ще 3 точки D, E, F. Зрозуміло, що потрібно дві A, B, C на одній стороні розрізу, тому скажімо, що розріз у цих трьох точках дорівнює (AB; C). Тепер кожна з точок D, E, F має перейти на сторону C розрізу, тому оптимальний зріз дорівнює (AB; CDEF), а співвідношення легко перевіряється рівним 2/3.

Тепер перемістіть кожну з точок D, E, F трохи від центру, щоб утворився невеликий рівносторонній трикутник. Не має значення в якому напрямку, поки вони симетричні по центру. Якщо перемістити їх на невеликій відстані, оптимальним розрізом все-таки повинен бути (AB; CDEF). Розглянемо довжину цього крою. Краї (AC, BC) утворюють 2/3 загальної довжини ребер (AB, BC, AC). За симетрією загальна довжина ребер (AD, AE, AF, BD, BE, BF) дорівнює 2/3 довжини ребер (AD, AE, AF, BD, BE, BF, CD, CE, CF ). Але жоден з ребер (DE, EF, DF) не врізаний. Тож співвідношення цього зрізу суворо менше 2/3.

Ви повинні мати можливість оптимізувати цю конструкцію, щоб знайти конфігурацію, де оптимальний зріз значно менше 2/3. Пробуючи це, я отримую, що якщо взяти шість точок, розташованих у двох рівносторонніх трикутників, що мають однаковий центр, причому менший розмір більшого, то макс стає загальною вагою замість . $(\sqrt{6}-1)/5 \approx .2899$ $.6408$ $2/3$

— Петро Шор
джерело

Приємно, ти маєш рацію! Ну, ще одна вишукана гіпотеза кусає пил ... Досі залишається відкритим питання, хоча чи постійна в площині більша за 1/2, чи можна досягти з кластерами , де . Я подумаю про це докладніше.

1 - O (k^{- α})

$1 - O(k^{-\alpha})$

k

$k$

α > 1

$\alpha > 1$

— Мілош Хасан

Я здогадуюсь, що правильна відповідь - це щось не надто нижче, ніж .64, але я не маю уявлення, як істинно показувати нижню межу.

— Пітер Шор