Які корінні труднощі переходять від графіків до гіперграфів?

10

У прикладі комбінаторики та інформатики є багато прикладів, де ми можемо проаналізувати теоретико-графічну задачу, але для аналогу гіперграфа цієї проблеми не вистачає. Чому, на вашу думку, проблеми часто стають набагато складнішими за 3-рівномірних гіперграфів, ніж над 2-рівномірними графіками? Які корінні труднощі?

Одне питання полягає в тому, що поки що ми не маємо задовільного розуміння теорії спектральних гіперграфів. Будь ласка, не соромтеся пролити більше світла на це питання. Але я також шукаю інші причини, які роблять гіперграфи більш важкими предметами.

graph-theory co.combinatorics hypergraphs

— арнаб
джерело

Цікаво, якою мірою це пов’язано з недавньою дискусією про зміну складності геометричних задач, що переходять від 2D до 3D ( cstheory.stackexchange.com/questions/5251/… ). Причиною цього я є те, що ви можете пов'язувати ребра в 2-рівномірному графіку з розташуванням на 2D-решітці, тоді як 3-рівномірний гіперграф матиме гіпереграми, що відповідають місцям у 3d-решітці.

— Джо Фіцсімонс

@Joe Fitzsimons: хороший момент. Але поняття та прийоми, які є природними в (гіпер) налаштуваннях графів, такі як підграф, забарвлення, перегородки тощо, можуть не бути такими природними в геометричних умовах. Крім того, я погоджуюся з вами в тому, що в багатьох областях є перехід «два-три».

— arnab

2

Ваше запитання важке, оскільки задовільна відповідь вирішить проблему P vs NP. Зауважте, що ідеальне зіставлення легко для 2-рівномірних графіків, тоді як для 3-рівномірних гіперграфів важко.

— Мохаммед Аль-Туркстані

Чи є чітко визначеним поняттям гіперграф? (Одне з того, що цей орфографічний сайт не знає про це :-) Це відношення фіксованої чи змінної арності?

— Тегірі Ненаші

Гаразд, відвідавши вікіпедію, я бачу, що це насправді не стосунки, а родина наборів. Чи серйозно математика сприймає цю концепцію "гіперграфа" серйозно?

— Тегірі Ненаші

8

У цьому питанні я розумію, що "складність" стосується не "важкого для обчислення", а "важкого для вивчення".

Проблеми з графіком простіше вивчити (принаймні для мене), оскільки деякі поняття рівноцінні. Іншими словами, якщо ви хочете узагальнити запитання для графіків до тих, що стосуються гіперграфів, вам потрібно звернути увагу на «правильне» узагальнення, щоб можна було отримати бажаний наслідок.

Наприклад, розглянемо дерево. Для графіків графік є деревом, якщо він підключений і не містить циклу. Це еквівалентно тому, що з'єднані і мають n-1 ребра (де n - кількість вершин), а також еквівалентно тому, що не містять циклу і мають n-1 ребра. Однак для 3-рівномірних гіперграфів скажімо, що 3-рівномірний гіперграф - це дерево, якщо він з'єднаний і не містить циклу. Але це не рівнозначно підключенню і наявності гіпер-діапазонів n-1, ні тому, що не містять циклу і мають n-1 гіпередачі.

Я чув, що головна складність доведення закономірності лемми для рівномірних гіперграфів полягала в тому, щоб придумувати правильні визначення регулярності та пов'язаних з ними понять.

Коли ви хочете розглянути "теорію спектрального гіперграфа", ви можете спробувати заглянути в тензори або в гомологію, якщо ви бачите k-рівномірний гіперграф як (k-1) -вимірний симпліциальний комплекс, з якого природно виникає лінійна алгебра. Я не знаю, яке "правильне" узагальнення для вашої мети, або можливо, що жодне не вірно.

— Йосіо Окамото
джерело

7

Я думаю, що це значною мірою пояснюється "містичною силою подвійності" Лоулера (зауваження, що багато заданих параметрів задаються в P для парам = 2 і NP - повне для param≥3). Графік - це річ, яка з'єднує 2-кортежі вершин, а гіперграф - річ, яка з'єднує k-кортежі вершин для k≥3.

Так, наприклад, 2-SAT є в P і по суті є графічною проблемою, тоді як 3-SAT є проблемою на 3-рівномірних гіперграфах і є NP-повною.

— Девід Еппштейн
джерело

1

Якщо точніше, я мав намір запитати, чи можна виявити деякі фундаментальні причини, чому графічно-теоретичні методи розпадаються. Наприклад, у нас насправді немає лінійно-алгебраїчних методів для гіперграфів, оскільки тензорний ранг недостатньо зрозумілий (наприклад, НП важко обчислити).

— arnab

1

Моя відповідь була не стільки "ці проблеми важко вирішити для комп'ютерів", а швидше, що існує сильна кореляція між P / NPC та відсутністю / відсутністю приємних математичних характеристик. Таким чином, проблеми стає важче вчитися в тандемі, коли вони стають NPC.

— Девід Еппштейн

7

У цьому контексті доволі цікавим є нещодавно поставлене запитання cstheory.stackexchange.com/questions/14950/… : Розпізнавання лінійних графіків 2-гиперграфов, тобто лінійних (мульти) графіків, знаходиться в P, а розпізнавання лінійних графіків 3-гіперграфами, здається, є відкритою проблемою. Зауважимо також, що проблема характеристики для 3-х гіперграфів (забороненими індукованими підграфами) все ще залишається відкритою, тоді як лінійні (мульти) графіки допускають кілька таких характеристик.

— vb le

5

Ще однією причиною було б те, що ми маємо набагато більше знань у бінарних відносинах, ніж будь-які інші n-арні відносини для n більше 2.

Природно, ми розглядаємо бінарні відносини між об'єктами, такі як суміжність, непорожній перетин, еквівалентність тощо. Отже, ми можемо визначити графіки в бінарних відношеннях і навіть визначити графік на основі деякого бінарного відношення на іншому графіку. (Наприклад, лінійні графіки, клікові дерева, розкладання дерев ...)

Але що стосується інших російських відносин, ми не дуже розуміємо. Наприклад, потрібен певний час, щоб придумати цікаве потрійне відношення; (Гаразд, частково через моє незнання) властивості слабкіші, а інструменти набагато менше у вивченні потрійних відносин. (Як ми визначаємо симетричні чи перехідні потрійні відносини? Обидва вони є одними з найважливіших відносин, які можна вивчити.)

Але я ще не знаю, чому це відбувається між бінарними та потрійними відносинами. Можливо, як сказав туркистанець, це питання важке і може бути пов'язане з розумінням проблеми П / НП.

— Сісен-Чі Чанг 張顯之
джерело

[Незважаючи на циліндричну та поліадичну алгебри] не існує переконливої алгебри для n-арних відносин. Дебати можна навіть знизити до рівня, коли можна аргументувати позиційні та названі точки зору на атрибути відношення.

— Тегірі Ненаші

2

Я спершу збирався відповісти на неправильне запитання: "який приклад проблем набагато важчий у гіперграфах, ніж у графіках". Мене особливо вразила різниця у вирішенні максимальної задачі відповідності у графіках, і те саме з гіперграфами (набором попарно розрізнених ребер), які дуже легко можуть моделювати забарвлення, максимальний незалежний набір, максимум кліку ...

Тоді я помітив, що це не ваше питання: "які корінні труднощі між ними?".

Ну, на це я б відповів, що досі я не бачив багато спільних точок між графами та гіперграфами. За винятком самої назви. І те, що багато людей намагаються «поширити» результати від першого до другого.

У мене був привід гортати сторінки «Гіперграфів» Берґе та «Набір систем» Боллобаса: вони містять багато смачних результатів, а ті, які я вважав найцікавішими, мали мало сказати про графіки. Наприклад, теорема Бараняй (в книзі Юкна є приємне підтвердження).

Я не знаю їх багато, але я зараз замислююся над проблемою гіперграфа, і все, що я можу про неї сказати, - це те, що я не відчуваю жодного графу, що ховається ніде навколо. Можливо, ми вважаємо їх "важкими", тому що ми просто намагаємося вивчити їх неправильними інструментами. Я не очікую, що проблеми з графіком, над якими я працюю, негайно зникнуть, використовуючи теорію чисел (хоча це буває і іноді).

О, і ще щось. Їх, мабуть, важче вивчити, бо вони комбінаторно набагато .... більше ?!

"спробуйте їх усе і подивіться, коли це працює" іноді є гарною ідеєю для графіків, але з гіперграфами він швидко принизився цифрами. :-)

— Натанн Коен
джерело