Припущення, що передбачають чотирикольорову теорему

Теорема чотирьох кольорів (4CT) стверджує, що кожен плоский графік є чотирьох кольоровим. Є два докази, що даються [Аппель, Хакен 1976] та [Робертсон, Сандерс, Сеймур, Томас 1997]. Обидва ці докази є комп’ютерними та досить залякуючими.

У теорії графіків є кілька домислів, які передбачають 4CT. Дозвіл цих гіпотез, ймовірно, вимагає кращого розуміння доказів 4CT. Ось одна з таких припущень:

Концепція : Нехай - плоский графік, C - набір кольорів, а f : C → C - вільна інволюція з фіксованою точкою. Нехай L = ( L v : v ∈ V ( G ) ) такий, що$G$$C$$f : C \rightarrow C$$L = (L_v : v \in V(G))$

• для всіх v ∈ V і$|L_v| \geq 4$$v \in V$
• якщо , то F ( & alpha ; ) ∈ L V для всіх про ∈ V , для всіх альфа ∈ C .$\alpha \in L_v$$f(\alpha) \in L_v$$v \in V$$\alpha \in C$

Тоді існує -розмальовка графа G .$L$$G$

Якщо ви знаєте такі припущення, що передбачають 4CT, будь-ласка, перерахуйте їх по одній у кожній відповіді. Я не міг знайти вичерпного переліку таких домислів.

4CT еквівалентно:

• Розфарбування гіперграфа, спричиненого кінцевим сімейством дисків (не обов'язково внутрішніх роз'єднаних, але й дисків, які можуть мати довільні накладення), максимум чотирма кольорами .$[1]$
• Припущення про те, що кожна площинна триангуляція з більш ніж трьома вершинами є об'єднанням двох пов'язаних двосторонніх графів, кожен з яких не має перешийка .$[2]$
• Комбінаторна проблема щодо тривимірної векторної алгебри перехресних добутків .$[3]$
• Теза, що граматика G є абсолютно неоднозначною .$[4]$
• Для будь-якого натурального цілого існує принаймні сигнальний шлях, що з'єднує дві перестановки S n .$n$$S_n$

• Представлено алгебраїчний еквівалент чотириколірної теореми. Еквівалент - твердження про неприналежність сім'ї поліномів до сімейства поліноміальних ідеалів над певним кінцевим полем .$[6]$

  1. Смородинський С. Про хроматичну кількість геометричних гіперграфів .
  2. Біпартітні графіки Мабрі Р. та теорема чотирьох кольорів .
  3. Кауффман Л.Г. Розфарбування карти та векторного перехресного продукту .
  4. Cooper BJ та ін. Назустріч мовному теоретичному доказуванню чотирьох теорем кольорів .
  5. Eliahou S. та ін. Підписані перестановки та чотири теореми кольорів .
  6. Говард Л. Алгебраїчна реформація теорії чотирьох кольорів .

Ще одна механічна перевірка 4-х кольорової теореми була проведена Джорджем Гонтьє в Microsoft Research Cambridge. Різниця з його доказом полягає в тому, що вся теорема була викладена та механічно перевірена за допомогою помічника доказу Coq, тоді як інші докази містять лише обчислення ядра, написані мовою збірки та С, і, таким чином, є ризик бути помилковим. Доказ Гонтьєра охоплює як обчислювальні, так і логічні аспекти лише у 60 000 рядків Coq.

Я говорив про це у своєму блозі, і наше розуміння таке: наприклад, стан Таїта може бути послаблений, якщо є забарвлення, яка має не більше o (n) помилок. Дивіться тут: http://rjlipton.wordpress.com/2009/04/24/the-four-color-theorem/

Подивіться на Т. Саті, Тринадцять різнокольорових варіацій 4-х кольорових гіпотез Гатті, «Американська математика». Щомісяця, 79 (1972) 2-43 для багатьох прикладів.

Також у книзі Девіда Барнетта "Розфарбовування карт", "Поліедри" та "Програма з чотирма кольорами", MAA, серії Dolciani, том 8, 1983 р. Наведено багато прикладів. Особливо цікавим результатом у книзі Барнета є: Якщо завжди можна обрізати вершини опуклого багатогранника, щоб утворити 3-валентний опуклий багатогранник, щоб число сторін кожної грані було кратним три, правдивість чотирьох кольорових припущень.

Хадвігера гіпотеза .

У статті Абсолютні площинні ретракти та чотири кольорові задумки Павол Пекло довів кілька еквівалентних рецептур для 4CT. Один з них гласить так:

Кожен плоский графік є 4-кольоровим (4CT), якщо існує абсолютна планарна відступ.

(Підграф графіка G - це відведення G, якщо існує гомоморфізм r : V ( G ) → V ( H ), так що r ( v ) = v для всіх v ∈ V ( H ) . Абсолютний планарний втягнення - це плоский графік, який є відведенням будь-якого планарного графа, до якого він є підграфом.)$H$$G$$G$$r: V(G)\to V(H)$$r(v)=v$$v\in V(H)$

Кожен кубічний плоский графік без мостів є кольоровим у 3-х краях. (Це еквівалентно 4CT, завдяки Tait.)

Доповідь Дрора Бар-Натана "Алгебри Лі та теорія чотирьох кольорів" (Combinatorica 17-1 (1997) 43-52, останнє оновлення у жовтні 1999 р., ArXiv: q-alg / 9606016 ) містить привабливе твердження про алгебри Лі, що еквівалентно теорема чотирьох кольорів. Поняття, викладені у висловлюванні, також з'являються у теорії інваріантів кінцевого типу вузлів (інваріанти Васильєва) та 3-багатообразників.

Пропозиція 2.4 в цьому документі http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0012365X9500109A# дає ще одну рецептуру для 4CT.

Правка: для заданого графіка$G$, графік $\Delta(G)$ має краї $G$як його вершини; два ребра$G$ суміжні в $\Delta(G)$ якщо вони охоплюють трикутник $G$. Тоді 4CT можна констатувати так: Для кожного плоского графа$G$, хроматичне число $\Delta(G)$ дорівнює кількості клики $\Delta(G)$.

Я забув згадати, що Альбертсон і Коллінз раніше довели в роботі
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0095895684900352 наступний подібний факт: Дано графік$G$, дозволяє $K(G)$ позначають графік, вершинами якого є ребра $G$. Дві вершини$K(G)$ є суміжними, якщо відповідні краї в $G$містяться в кліці.
Тоді 4CT еквівалентно: Для будь-якого плоского графа$G$, хроматичне число та кількість кліку $K(G)$ рівні.

Опис на високому рівні автоматизованого доказу від Gonthier вартий ознайомлення, якщо ви хочете отримати більш детальну інформацію.

Юрій Матіясевич вивчив кілька ймовірнісних перестановок теоретики чотирьох кольорів, залучаючи позитивні кореляції між двома поняттями подібності між забарвленнями. Його докази еквівалентності покладаються на пов'язаний поліном графа, який дає ще один імовірний вказівник на гіпотези, що передбачають теорему.

• Жорж Гонтьє, формальне підтвердження - теорія чотирьох кольорів , повідомлення американського математичного товариства 55 (11) 1382–1393, 2008.
• Юрій Матіясевич, один ймовірнісний еквівалент чотирьох кольорових понять , переклад статті в «Теорія вероятностей і е. Приміщення» 48 411–416, 2003.
• Юрій Матіясевич, Деякі ймовірнісні перетворення чотирьох кольорових концепцій , Журнал теорії графіків 46 167–179, 2004. ( препринт )

Я щойно прочитав у статті Халопіна та Гонсальвеса (STOC '09) наступну гіпотезу Заходу:

Кожен плоский графік - це графік перетину відрізків у площині, використовуючи лише чотири напрямки.

Оскільки паралельні сегменти утворюють незалежне безліч у такому поданні, ця гіпотеза передбачає 4CT, але, можливо, є ще сильнішою.

Довідка: Захід, Відкриті проблеми . Дискретний математичний бюлетень SIAM J, 2 (1): 10-12, 1991.

Снарк є зв'язковим, bridgeless кубічного графа , яка не реберний 3-розмальовки. За вікіпедією, гіпотеза "snark" , що узагальнює 4CT, полягає в наступному:

Кожен снар має підграф, який можна сформувати з графіка Петерсена, поділивши деякі його краї.

Знову за версією Вікіпедії, доказом цієї гіпотези було оголошено у 2001 році Робертсон, Сандерс, Сеймур та Томас.

"Маркування обличчя максимальних планарних графіків" - це назва моєї старої статті, яка нещодавно була опублікована, в якій я перетворив 4 забарвлення максимальних плоских графіків у послідовність маркування обличчя. Посилання на документ: http://www.math.nsysu.edu.tw/~amen/2011/091021-3.pdf

Як

Л.Х. Кауффман, Переформулювання теорії кольорів карти , Дискретна математика 302 (2005) 145–172

вказує, що Принцип первинності, спричинений Г. Спенсером-Брауном, а також гіпотеза Еліахоу-Крючкова є рівнозначними переформулюваннями ПГТ .

• С. Еліау, підписані діагональні фліп і чотири теореми кольорів, Європейський Дж. Комбін. 20 (1999) 641–646.
• С. І. Крючков, Теорема про чотири кольори та дерева, І. В. Кручатов, Інститут атомної енергії, Москва, 1992, IAE-5537/1.
• Г. Спенсер-Браун, Закони форми, Gesetze der Form, Bohmeier Verlag, 1997.

Документ Гаррі Боуліна та Метью Г. Бріна "Розфарбовування плоских графіків кольоровими шляхами в асоціадрі", востаннє переглянуте 12 травня 2013 року, arXiv: 1301,3984 математика.CO містить таку гіпотезу на сторінці 26:

Концепція 6.4. Для кожної пари кінцевих, двійкових дерев (D, R) з однаковою кількістю листя існує присвоєння знаків D та слова w символів обертання, дійсних для D, так що Dw = R.

Зазначено, що гіпотеза 6.4, що випливає з попередніх пропозицій та теорем, дорівнює 4CT.

До -потоку на неорієнтованому графі G являє собою орієнтований граф , отриманий шляхом заміни кожного ребра в G з дугою і присвоєнням йому ціле числа між -k і до , винятковим, таким , що для кожної вершини в G, сума цілих чисел присвоєний дугам, що вказують на цю вершину, дорівнює сумі цілих чисел, призначених дугам, що вказують. K- потік NWZ (ніде нуль) - k- потік, в якому дузі не було призначено число 0.

Для будь-якого планарного графіка G подвійний G - це графік, який містить одну вершину для кожної грані в планарному вбудовуванні G , і дві вершини в подвійній частці, один край, що з'єднує їх для кожного ребра, що відповідні грані G ділять між ними в їх межах. Відповідно до теореми дуальності про розфарбовування потоку Татте, плоский графік без перешийка (тобто край, видалення якого збільшило б кількість компонентів) має NWZ k- потік, якщо і лише якщо його подвійний k -забарвлений. Іншими словами, плоский графік є чотирикольоровим тоді і лише тоді, коли його подвійний має 4-х потоковий NWZ.

Зауважте, що для 4CT потрібний планарний графік не має циклів (ребра, що з'єднують будь-яку вершину з собою), оскільки будь-який графік із циклом не може бути кольором вершини з будь-яким набором кольорів, тому що будь-яка вершина з циклом, таким чином, буде суміжною з a вершина одного кольору, незалежно від її кольору.

Я працюю над цим:

Якщо ви можете довести теорему для прямокутних карт, тобто карт, виготовлених із аркушів, що перекриваються, ви також довели 4ct. Крім того, у пошуку можуть розглядатися лише карти з гранями, які мають усі 5 ребер або більше.

Детальну інформацію див. У розділі http://4coloring.wordpress.com/ .