Інтерактивні докази через постселекцію?

Визначте обчислювальну модель MPostBQP, щоб вона була ідентичною PostBQP, за винятком того, що ми допускаємо поліноміально багато вимірювань в кубітах до після вибору та остаточного вимірювання.

Чи можемо ми дати будь-які докази, які свідчать про те, що MPostBQP є більш потужним, ніж PostBQP?

Визначте MPostBQP [k], щоб дозволити кілька раундів вимірювання та післяселективного вибору, перш ніж зробити остаточне вимірювання. Виберіть індексацію, так MPostBQP [1] = PostBQP і MPostBQP [2] = MPostBQP тощо. (Оновлення: Офіційне визначення наведено нижче.)

Розгляньте ігри Артура-Мерліна. Можливо, ми зможемо імітувати їх у цій моделі обчислення: Постселекція може взяти на себе роль Мерліна в створенні переконливих повідомлень, а проміжні вимірювання можуть взяти на себе роль публічних метань монети Артура. Ця можливість змушує мене запитати:

Чи є у нас AM [k] $\subset$ MPostBQP [k]?

Це справді відомо $k=1$, що каже М.А. $\subset$ПП. Щоб показати це для$k=2$ означатиме MPostBQP = PP, тільки якщо AM $\subset$ПП. Оскільки існує оракул, щодо якого АМ не міститься в ПП , це може дати позитивну відповідь на моє перше запитання.

Нарешті, для поліномічно багатьох раундів,

У нас є PSPACE $\subset$MPostBQP [полі]? Якщо так, то чи рівність?

Це було б по-філософськи цікаво (принаймні, для мене), оскільки воно сказало б нам, що "простежуваний" клас проблем для "чаклуна після вибору" включає (або є ) весь PSPACE.

EDIT: Мене попросили офіційного визначення MPostBQP. (Я оновив наступне.)

MPostBQP [k] - клас мов $L \subset \{0,1\}^*$ для якого існує рівномірне сімейство квантових схем за розмірами полінома $\{C_n\}_{n \geq 1}$ такий, що для всіх входів $x$, наведена нижче процедура відповідає дійсності з принаймні ймовірністю $2/3$ якщо $x \in L$, і максимум із ймовірністю $1/3$ якщо $x \notin L$. Процедура, яка дозволяє зробити вибір, від якого може залежати$L$ (але не $x$), визначається так:

Порядок дій: Крок 1. Застосуйте унітарний оператор, відповідний$C_n$ до стану вводу $\left\vert 0\cdots 0\right> \otimes \left\vert x \right>$. Зверніть увагу на довжину першого$\left\vert0\cdots 0\right>$ Регістр є максимум многочлена довжиною $x$. Крок 2. Для$i = 1 \cdots k$: Якщо $i$є рівним, а потім виміряйте будь-яку бажану кількість кубітів з першого реєстру (щонайбільше поліноміально багато, враховуючи розмір регістра). Якщо$i$ є непарним, а потім виділіть після вибору один обраний кубіт у першому регістрі вимірює як $\left\vert 0 \right>$(і мати гарантію, що ймовірність не дорівнює нулю, тож післяселективний вибір є дійсним, звичайно). Крок 3. Нарешті, вимірюємо останній кубіт у першому регістрі та повертаємо true, якщо ми вимірюємо$\left \vert 1 \right>$ а помилково - інакше.

У нас є MPostBQP [0] = BQP, MPostBQP [1] = PostBQP, і MPostBQP: = MPostBQP [2]. Я намагаюся відобразити класи Артура-Мерліна, де AM [0] = BPP, AM [1] = MA і AM [2] = AM.

EDIT (3/27/11 17:00): Здається, виникають дискусії щодо того, як слід визначати постселекцію в цьому контексті. Очевидно, я маю на увазі під визначенням, яке не дотримується мого питання! :) Визначення, яке я припустив, таке: Постселекція на kth біті означає, що ми проектуємо стан у підпростір, у якому kth біт$0$, і нормалізувати. Виявляється, що в схемі, де ми робимо вибір, перш ніж проводити вимірювання, ми можемо отримати остаточну статистику, переглянувши умовні ймовірності в схемі, де постселекції замінюються вимірюваннями. Однак я стверджую, що ця характеристика руйнується, коли вимірювання та постселекції перемежовуються. Я думаю, що плутанина випливає з людей, які використовують це "умовне визначення ймовірності" (яке працює в окремому випадку, який я узагальнюю), як визначення постселекції, а не щойно дане визначення "примусового вимірювання", яке явно залежить від порядку через відсутність комутативності. Я сподіваюся, що це допомагає!

EDIT (3/27/11 21:00): Я вже визначив постселекцію в чистодержавному формалізмі. Найл дав аналіз на формалізм матриці щільності, який не погоджується з моїм для прикладу 3-кубіт. Винуватець, знову ж таки, визначення постселекції. Визначте постселекцію в настройці матриці щільності наступним чином. Дана матриця щільності$M$, перепишіть її як суміш розділених станів $M = \sum p_i \left\vert a_i \right> \left< a_i \right\vert$. Дозволяє$\left\vert A_i \right>$бути результатом постселекції (на деяких кубітах) з використанням чистопорядкового формалізму, який я визначив вище. Визначте результат післяселекції на$M$ бути $\sum p_i \left\vert A_i \right> \left< A_i \right\vert$.

Це більш розумне визначення, оскільки воно не дає нам результатів, які говорять про те, що після того, як ми відіб'ємо пост, ми змінимо статистику подій (вимірювань), які ми вже спостерігали, як це відбувається. Тобто$p_i$- це ймовірності монет, які ми "вже перевернули". Немає сенсу говорити, що ми збираємося повернутися у часі і змістимо монети, що вже відбулися, тому що це зробить поточну вибірку більш імовірною.

EDIT (3/28/11 13:00): Ніль визнає, що з моїх визначень проблема має сенс і не тривілізується - але з умовою, що я не повинен називати це післявибором . Враховуючи кількість плутанини, я мушу погодитися з ним. Тож давайте назвемо те, що я визначив як вибір , який виконує "примусове вимірювання". Я, мабуть, повинен змінити назву класів складності, які я також визначив (щоб у них не було "Повідомлення"), тому давайте назвемо їх QMS [k] (kvant-mjera-виділити).

З коментарів виходить, що Шаун має на увазі щось інше, ніж те, що зазвичай розуміється під вибором. Тепер я розумію, що це означає, що статистичні дані для будь-яких вимірювань, зроблених до певного післяселективного вибору, не повинні змінюватися наступним післяселектизом. Це схоже на наявність оператора проекції, коли нормалізація проводиться над кожною гілкою функції хвилі, що відповідає конкретній суміші вимірювань, а не над хвильовою функцією в цілому.

У цьому випадку аргументи, наведені в інших відповідях я і Ніла, більше не дотримуються. Дійсно, це легко видно$P^{PP[k]}\subseteq$ MPostBQP [k], оскільки MPostBQP$[k]$ може розглядатися як машина BQP, яка може робити $k$ запити до PP oracle, а значить $P^{\# P}\subseteq$ MPostBQP .

Отже, тепер у нас є нетривіальна нижня межа, а як щодо верхньої межі? Ну, явно проблема в PSPACE , але чи можемо ми зробити краще? Власне, я думаю, що ми можемо.

Ми можемо записати будь-які обчислення в MPostBQP як послідовність шарів форми: квантове обчислення з подальшим виділенням з подальшим вимірюванням одного кубіту. Дійсно, це може бути альтернативним способом формулювання MPostBQP [k] як обчислення, що складається з$k$такі шари (це дещо відрізняється від визначення Шона, яке, на мою думку, покликане рахувати лише кількість пост-виділень) з подальшим остаточним шаром класичної післяобробки. Я буду використовувати це визначення MPostBQP [k] в наступному, оскільки це призводить до більш естетичного результату.

Нижче оновлено від оригінальної версії, щоб виправити отвір у доказі.

Спершу ми хочемо обчислити результат вимірювання першого виміряного кубіту (не після вибору!). Для цього спочатку зазначимо, що будь-які квантові обчислення можна виразити, використовуючи лише ворота Адамарада та ворота Тоффолі, та амплітуду$\alpha_w$ певного стану обчислювальної бази $|w\rangle$ у висновку можна записати як максимум суму $2^{H}$ умови $a_{j,w}$, де $H$- загальна кількість воріт Адамара, кожна з яких відповідає унікальному обчислювальному шляху. Зрозуміло,$a_{j,w} = \pm 2^{-H/2}$. Ймовірність отримання остаточного стану$|w\rangle$ Потім дається $\alpha_w^2 = (\sum_j a_{j,w})^2 = \sum_{i,j} a_{j,w}a_{i,w}$. Ми хочемо обчислити загальну ймовірність вимірювання 1. Нехай$S_0$ бути набором обчислювальних базових станів, які відповідають критеріям після вибору (тобто кубіт після вибору дорівнює 1) і призводять до 0 для вимірюваного кубіта, і нехай $S_1$- це набір обчислювальних базових станів, які відповідають критеріям після вибору і приводять до 1 для вимірюваного кубіта. Ми можемо визначитись

У цьому випадку ймовірність вимірювання 1, обумовленого 1, для обраного кубіта задається числом $\frac{\pi_1^+ - \pi_1^-}{\pi_1^+ - \pi_1^- - \pi_0^- + \pi_0^+}$. Як ми можемо визначити це за допомогою 4 дзвінків до оракула #P. Ми використовуємо це для отримання випадкового біта$b_1$ що з вірогідністю 1 $X_1$, те саме, що і квантове вимірювання. Таким чином, MPostBQP [1] знаходиться в$BPP^{\# P[4]}$.

Далі обчислюємо результат вимірювання другого кубіта. Для цього ми запускаємо ті ж запити #P, що і для першого шару, але на схемі, отриманій складанням перших двох шарів, і де ми вибираємо по 1 для кожного з обраних кубітів, а також на$b_1$ для виведення вимірювання 1. Зауважте, що, хоча це відбувається після вибору за станами 3 кубітів, а не 1, це є тривіальною модифікацією $\# P$запити, просто додавши анцилу, яка встановлюється лише в тому випадку, якщо всі 3 кубіти відповідають необхідним умовам, і замість цього на цьому анциллі виберіть пост. Потім це генерує правильні умовні вихідні ймовірності для результату другого виміряного кубіта, який ми позначаємо$b_2$. Зауважте, що зараз ми використовували 8 дзвінків до оракула #P .

Повторюємо цей процес ітераційно, так що на шарі $j$ ми після виділення 1 для всіх $j$ перед попередньо вибраними кубітами і далі $b_{i<j}$ для всіх попередніх вимірювань та позначте результат відповідного $P^{\# P}$ машина $b_j$. Всього цього вимагає$4j$ запити oracle.

Таким чином, у нас є MPostBQP [k]$\subseteq P^{\# P[4k]}$, що поєднується з попереднім результатом, що $P^{PP[k]}\subseteq$ MPostBQP$[k]$, Має на увазі, що $P^{PP[k]} \subseteq$ MPostBQP [k]$\subseteq BPP^{\# P[4k]}$і, отже, MPostBQP $= P^{\# P}$.

[Переглянуто.] Я переглянув свою відповідь, виходячи з вашої редакції на ваше запитання, я зберіг зміст моєї початкової відповіді, але зробив її коротшою. Більш детальний опис процесу "моделювання" було замінено, але я вважаю, що це можна побачити, переглянувши історію редагування цієї публікації.

Більшість людей зрозуміють "постселекцію" у розумінні умовної ймовірності. Дійсно, поточна версія статті Вікіпедії на PostBQP описує її таким чином; і розглядається як операція над операторами щільності (в якій застосовується повністю позитивна карта, що не збільшує сліди Φ, така, що Φ ²  = Φ, а потім перенормує слід) відновлює це визначення.

Враховуючи це визначення післяселективного визначення, ваше визначення алгоритму MPostBQP [ k ] може бути змодельовано алгоритмом PostBQP , відклавши післяобороти та виконуючи їх одночасно, відповідним чином. Це відзначається більш-менш явно на сторінці 3 статті Ааронсона Квантові обчислення, постселекція та ймовірнісний поліном-час, що вводить клас PostBQP .

Це можна чітко показати, зазначивши, що для послідовності бітів P ₁  ,   P ₂  , ..., яка повинна бути обрана ( наприклад, у 1стані, який є звичайним), різниці між кондиціонуванням їх 1у середині обчислення та кондиціонування на них знаходяться 1в кінці обчислення, доки значення цих бітів не будуть змінені в проміжках. Тоді, а не після вибору кожного з них окремо 1, ми можемо обчислити їх логічне І до після вибору, а потім поставити вибір у цій сполучниці1. Крім того, обчислення AND може бути виконано в будь-якій точці між останньою трансформацією біта і його післяселекцією. Це жодним чином не вплине на спільну статистику будь-яких властивостей держави.

Таким чином, використовуючи загальне визначення постселекції за умовними ймовірностями, ми мали б MPostBQP [ k ] =  PostBQP для всіх k  > 0.

Як я зазначив у коментарях вище, я не вважаю, що операція, яку ви описуєте на стані вектори - конкретно, що передбачають перенормування векторів стану незалежно у кожній галузі розподілу ймовірності над результатами вимірювання- відповідає постселекції, оскільки багато людей у ​​цій галузі (епсециально експерименталісти) описали б цю концепцію. Це навіть може породжувати деякі "нефізичні" властивості, якщо їх поширити на відображення операторів щільності. Однак це можливий спосіб побудувати щось на кшталт дерев рішень, вузли яких позначені державними векторами, і тому це, в принципі, розумний процес дослідження сам по собі. Я просто не назвав би цей процес «постселекцією».

[Редагувати.] Для охайності я вилучив приклад, що обчислюється. Я припускаю, що це можна побачити, переглянувши історію редагування цієї публікації.

З вашого визначення MPostBQP , здавалося б , що це просто PostBQP у вишуканому вбранні. Замість того, щоб намагатися переконати вас у тому, що вимірювання можуть бути перепорядковані, можливо, вам здасться більш переконливим довести MPostBQP = PP , оскільки відомо, що PostBQP = PP (див. Quant-ph / 0412187 ). Щоб довести це, ми розділимо його на два завдання:

1. доведення, що ПП$\subseteq$MPostBQP і
2. доказуючи, що MPostBQP$\subseteq$ ПП

Перше завдання тривіальне, оскільки PP = PostBQP = MPostBQP [1]$\subseteq$MPostBQP . Друге завдання - це справді головне питання, але воно відповідає за допомогою простої адаптації до доказу, що PostBQP = PP , наведений у quant-ph / 0412187 (див. Сторінку Вікіпедії на PostBQP для окреслення доказу).

Далі адаптовано з ескізу Вікіпедії доказ для PostBQP = PP .

Ми можемо виписати схему, що відповідає будь- якому обчисленню MPostBQP, у вигляді серії унітарних воріт та пост-виділень. Без втрати загальності ми можемо припустити, що після того, як кубіт буде обраний пост, він більше ніколи не буде діяти. Таким чином, квантовий стан, отриманий в кінці обчислення, задається формулою $|\psi\rangle = \prod_i (P_i^1 \prod_j A^{ij}) |x\rangle$, де $P_i^1$ позначає проектор для кубіта $i$ на $|1\rangle$ підпростір і $A^{ij}$є матрицями, що відповідають елементарним воротам. Зауважимо, що без втрати загальності можна вважати, що всі записи в$A^{ij}$ реальні за рахунок додаткового кубіта.

А тепер нехай $\{p_i\}$ бути набором кубітів, які вибираються після, і нехай $q$бути вихідним кубітом. Визначимо$\pi_0 = \sum_{w \in S_0} \psi_w^2$ і $\pi_1 = \sum_{w \in S_1} \psi_w^2$, де $S_0$ ($S_1$) - сукупність обчислювальних базових станів, для яких $p_i = 1 \forall i$ і $q=0$ ($q=1$). Визначення MPostBQP гарантує, що будь-яке$\pi(1) \geq 2\pi(0)$ або $\pi_0 \geq 2\pi_1$. Потім ідея полягає в тому, щоб побудувати машину PP для порівняння$\pi_0$ і $\pi_1$. Виражаючи$\psi_w$, частина кінцевої хвильової функції $\psi$ що відповідає певному стану обчислювальної бази $w$, як сума за шляхами та заміною індексів $i$ і $j$ на $A^{ij}$ з єдиним індексом $k$ працює від 1 до $G$, ми отримуємо $\psi_w = \sum_{\alpha_1 ... \alpha_G} A^{G}_{w,\alpha_G} A^{G-1}_{\alpha_G,\alpha_{G-1}} ... A^{1}_{\alpha_2,\alpha_1} x_{\alpha_1}$.

Отже, ідея полягає в тому, щоб побудувати ПП- машину, яка приймає з вірогідністю$\frac{1}{2}(1+C(\pi_1-\pi_0))$ для деяких $C>0$, Відтоді $x \in L$ означало б це $\frac{1}{2}(1+\pi_1-\pi_0)> \frac{1}{2}$ і $\frac{1}{2}(1+\pi_1-\pi_0) < \frac{1}{2}$ якщо $x \notin L$.

Тепер нехай $\alpha = \{\alpha_i\}$ і $F(A,w,\alpha,X) = A^{G}_{w,\alpha_G} A^{G-1}_{\alpha_G,\alpha_{G-1}} ... A^{1}_{\alpha_2,\alpha_1} x_{\alpha_1}$. Тоді$\pi_1 - \pi_0 = \sum_{w \in S_1} \sum{\alpha,\alpha'} F(A,w,\alpha,X)F(A,w,\alpha',X) - \sum_{w \in S_0} \sum{\alpha,\alpha'} F(A,w,\alpha,X)F(A,w,\alpha',X)$.

Таку машину PP можна потім визначити так:

1. Виберіть стан обчислювальної бази $w$ рівномірно навмання.
2. Якщо $w \notin S_0 \cup S_1$, то зупиніться і прийміть з вірогідністю $1/2$та відхилити інше.
3. Виберіть дві послідовності $\alpha$ і $\alpha'$ з $G$ обчислювальна основа станів рівномірно випадково.
4. Обчислити $X = F(A,w,\alpha,x)F(A,w,\alpha',x)$.
5. Якщо $w\in S_1$ то прийміть з вірогідністю $\frac{1+X}{2}$та відхилити інше. Як варіант, якщо$w\in S_0$ то прийміть з вірогідністю $\frac{1-X}{2}$та відхилити інше.

Потім це ставить MPostBQP [k]$\subseteq$ПП , для всіх$k$і, отже, MPostBQP не є більш потужним, ніж PostBQP .