Чи є типові пропозиції? (Які саме типи?)

Я багато читав про типові системи і подібні, і приблизно розумію, чому вони були введені (щоб вирішити парадокс Русселя). Я також приблизно розумію їх практичну актуальність у мовах програмування та системах перевірки. Однак я не зовсім впевнений, що моє інтуїтивне уявлення про те, що таке тип, є правильним.

Моє запитання: чи справедливо стверджувати, що типи є пропозиціями?

Іншими словами, вислів "n - це натуральне число" відповідає висловлюванню "n має тип" натуральне число "", тобто всі алгебраїчні правила, що включають натуральні числа, мають значення n. (Тобто іншим способом сказано, що алгебраїчні правила - це твердження. Ті твердження, які справедливі для натуральних чисел, також мають значення для n.)

Тоді це означає, що математичний об’єкт може мати більше одного типу?

Крім того, я знаю, що множини не еквівалентні типам, оскільки ви не можете мати набір усіх наборів. Чи можу я стверджувати, що якщо множина - це математичний об'єкт, подібний до числа чи функції , тип - це такий собі метаматематичний об'єкт і за тією ж логікою вид є метаметаматичним об'єктом? (в тому сенсі, що кожен "мета" вказує на більш високий рівень абстракції ...)

Чи має це якесь зв’язок із теорією категорій?

Ключова роль типів полягає в розподілі об'єктів, що цікавлять, у різних всесвітах, а не в розгляді всього існуючого в одному Всесвіті. Спочатку типи були розроблені для уникнення парадоксів, але, як відомо, вони мають багато інших застосувань. Типи дають спосіб класифікації або стратифікації об’єктів (див. Запис у блозі ).

Деякі працюють з гаслом, що пропозиції є типовими , тому ваша інтуїція вам, безумовно, слугує добре, хоча є така робота, як Пропозиції як [Типи] Стіва Аводі та Андрея Бауера, яка стверджує інакше, а саме, що кожен тип має супутню пропозицію. Відмінність проводиться через те, що типи мають обчислювальний зміст, тоді як пропозиції - ні.

Об'єкт може мати декілька типів завдяки підтипу та коерционам типу .

Типи, як правило, організовані в ієрархії, де види відіграють роль типу типів, але я б не пішов так далеко, щоб сказати, що типи є метаматематичними. Все відбувається на одному рівні - особливо це стосується залежних типів .

Існує дуже міцний зв’язок між типами та теорією категорій. Дійсно, Боб Харпер (цитуючи Ламбека) говорить, що Логіка, Мови (де проживають типи) та Категорії утворюють святу трійцю . Цитування:

Ці три аспекти породжують три секти культу: Логіка, яка надає перевагу доказів і пропозицій; Мови, що надає перевагу програмам та типам; Категорії, що надає перевагу картам та структурам.

Ви повинні подивитися на листування Кері-Говарда, щоб побачити зв'язок між логікою та мовами програмування (типи є пропозиціями) та декартовими закритими категоріями , щоб побачити взаємозв'язок з теорією категорій.