Обмеження кількості ребер між зірковими графіками, таким чином, що графік є планарним

У мене є графік $G$який складається лише зіркових графіків. Зоряний графік складається з одного центрального вузла, що має краї до кожного іншого вузла в ньому. Дозволяє$H_1, H_2, \ldots, H_n$ бути різними зірковими графіками різних розмірів, які присутні у $G$. Ми називаємо набір усіх вузлів, які є центрами в будь-якому зірковому графіку$R$.

Тепер припустимо, що ці зіркові графіки будують краї до інших зіркових графіків, щоб жодне ребро не траплялося між будь-якими вузлами в $R$. Потім, скільки ребер існує максимум між вузлами в$R$ і вузли, які не знаходяться $R$, якщо графік повинен залишатися планарним?

Я хочу верхня межа кількості таких ребер. Однією з верхніх меж, про які я маю на увазі, є: розглянути їх як двосторонній плоский графік, де$R$ це один набір вершин, а решта вершин утворюють інший набір $A$. Нас цікавлять ребра між цими наборами ($R$ і $A$). Оскільки це планарний двосторонній, кількість таких ребер обмежена вдвічі більшою кількістю вузлів у$G$.

Я відчуваю, що є краща межа, можливо, удвічі більше вузлів $A$ плюс кількість вузлів у $R$.

Якщо ви можете спростувати мою інтуїцію, то це теж було б добре. Сподіваємось, хтось із вас може придумати хороший зв’язок разом з деякими відповідними аргументами.

Ваше твердження трохи неоднозначне: спочатку ви пишете, що "... такий, що жоден край не виникає між вузлами в $R$", але наступний абзац означає, що в вершинах також немає ребер $A$. Я також припускаю, що зірки непересічні, і ви рахуєте всі ребра (включаючи ті, які спочатку були у зірок). Припустимо також, що є принаймні дві зірки, і принаймні одна з них має ступінь$\ge 2$.

У цьому випадку ви не можете перемогти $2N-4$ пов'язаний ($N$= кількість усіх вершин). Розглянемо дещо інший сценарій: почніть з будь-якого набору$N$вершини, деякі червоні, деякі чорні, принаймні дві з кожного виду. На кожному кроці додайте довільно край між червоною та чорною вершиною до тих пір, поки це не створить перетину чи дублювання ребер. Я стверджую, що коли ти застряєш, усі цикли мають довжину$4$.

Ваш сценарій - особливий випадок цього процесу, коли ви починаєте спочатку створюючи зірки, а потім пізніше додаючи решта ребер. Якщо всі цикли мають довжину$4$, the $2N-4$пов'язане наступним чином. Загалом, це показує, що незалежно від того, з якого двобічного графіка ви починаєте, ви завжди можете заповнити його до чотиригранного графіка (слово, яке я склав).

Тепер покажемо претензію. У цьому процесі всі шляхи матимуть чергуються чорні та червоні вершини, і кожен цикл матиме принаймні довжину$4$. Якщо графік не з’єднаний, ви можете з'єднати будь-яку червону вершину на зовнішній грані одного компонента з чорною вершиною на іншій стороні іншого компонента. Тож можна припустити, що графік вже підключений.

Припустимо, у вас є обличчя $F$ довжини $6$ або більш. $F$повинно мати принаймні три чорні вершини (деякі, можливо, рівні). Якщо якась вершина$x$ повторюється на $F$, зробіть два послідовних виступи $x$, сказати $x-a-...-x-b...$. $F$ повинна містити чорну вершину $z\neq x$, так, залежно від місця розташування $z$, ми могли підключити будь-який $a$ або $b$ до $z$ всередині $F$без дублювання країв. Якщо вершина не повторюється, виберіть розділ за годинниковою стрілкою$x-a-y-b-z$ з $F$, де $x,y,z$ чорні і $a,b$червоні. Якщо$x$ підключено до $b$ тоді $a$ не може бути підключено до $z$ (по планарності), тому ми можемо додати один з ребер $(x,b)$, $(a,z)$ всередині $F$.