Результати в теоретичному CS незалежно від ZFC

Я збираюся задати досить розпливчасте запитання, оскільки межу між теоретичною інформатикою та математикою не завжди легко розрізнити.

ЗАПИТАННЯ: Чи знаєте ви про будь-який цікавий результат у CS, який або не залежить від ZFC (тобто теорія стандартного набору), або це було спочатку доведено в ZFC (+ деякій іншій аксіомі) і лише пізніше доведено у ZFC alorne?

Я прошу, бо я готовий закінчити докторську дисертацію, і мій головний результат (рішучість класу ігор, які використовуються для надання «ігровій семантиці» імовірнісному модальному $\mu$ рахунку) на даний момент доведено в ZFC поширювався і на інші аксіоми (а саме заперечення гіпотези континууму та, Аксіома Мартіна ).$\neg CH$$MA$

Отже, налаштування - це явно Комп'ютерна наука (модальний -калькуляція - це часова логіка, і я розширюю її для роботи з імовірнісними системами).$\mu$

Я хотів би навести у своїй дипломній роботі інші приклади (якщо вам це відомо).

Заздалегідь спасибі,

до побачення

Маттео

Хоча я не знаю жодних подібних результатів, крім ваших власних, я думаю, ви могли дещо розширити сферу застосування і запитати: які результати в TCS були доведені, використовуючи (будь-які) нестандартні аксіоми. Під нестандартним тут я маю на увазі щось інше, ніж класичну логіку із ZF (або ZFC).

Прекрасним прикладом такої роботи, яку я маю на увазі, є результати Алекса Сімпсона щодо властивостей мов програмування з використанням синтетичної теорії доменів. Він використовує інтуїтивістську теорію множин з аксіомами, які суперечать класичній логіці.

Також ми з Алексом використовували інтуїтивістські аксіоми з антикласичними принципами безперервності, щоб показати результати щодо обчислюваності Банаха-Мазура.

Однак жоден із згаданих прикладів не має статусу "відкритого", як ваші докази, тому що ми знаємо, що нестандартні аксіоми, які ми використовували, можна зрозуміти просто як робота всередині моделі інтуїтивної математики, де може бути показано, що модель існує в ZFC. Тож нестандартне налаштування - це дійсно спосіб зробити більш елегантним, і в принципі це можна зробити в прямому ZFC (хоча я боюся думати, як саме це піде).

Це залежить від вашого визначення поняття "Інформатика". Візьмемо приклад нижче - чи враховується це?

Кодування цілих чисел однозначно декодіруемий бінарний код . Якщо довжина кодових слів не зменшується, ми називаємо код монотонним . Код C 1 є краще , ніж коду C 2 , якщо | C 1 ( n ) | - | C 2 ( n ) | → - ∞ . Іншими словами, для кожного L від деякої точки на кодових словах C 1 принаймні L біт коротше.$\mathbb{N}$$C_1$$C_2$$|C_1(n)| - |C_2(n)| \rightarrow -\infty$$L$$C_1$$L$

Набір кодів називається конфінально , якщо для кожного коду C є код D ∈ S , який краще , ніж C . Це добре впорядковано, якщо воно впорядковане відносно "кращого". Шкала є цілком упорядкованим конфінально набір кодів.$S$$C$$D \in S$$C$

Ось дві властивості, які не залежать від ZFC:

1. Існує шкала кодів.
2. Існує шкала монотонних кодів (тобто добре впорядкований набір монотонних кодів, кофінальний у наборі всіх монотонних кодів).

Конус тьюрінгових градусів являє собою набір ступенів з деяким підставою б ∈ D такі , що для всіх ступенів C , б ≤ T C тоді і тільки тоді , коли з ∈ D .$D$$b \in D$$c$$b \leq_T c$$c \in D$

Заява рішучості ступеня Тюрінга :

Кожен набір ступенів Тюрінга або містить конус, або від'єднаний від якогось конуса

є наслідком аксіоми детермінації (AD), яка не залежить від ZF та несумісна із ZFC. Слабше твердження

Кожен набір борелів, що закривається за еквівалентністю Тьюрінга, або містить конус, або від'єднаний від конуса

є наслідком теореми Мартіна про детермінацію Бореля, що можна довести в ZFC. Обидві ці твердження були вивчені до того, як результат Мартіна щодо детермінації Бореля був доведений, тоді було відомо лише, що вони обидві доказові в ZF + AD.

$S$$b$$c \in S$$b \leq_T c$$S$$S$

Нещодавно я взяв участь у бесіді з одним із таких результатів, що стосується рішучості одноколірних ігор Büchi: Олів'є Фінкель, Визначення ігор без контексту , STACS 2012, http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2012/ 3389 / pdf / 5.pdf .

Багато конструктивної математики. Дивіться роботу Пер Мартіна Лефа про конструктивну теорію множин, яка використовується як основа для залежно типових мов програмування.