Яка найзагальніша структура, за якою можна перевірити матричний продукт за

У 1979 році Фрейвальдс показав, що перевірка матричних добутків у будь-якому полі може бути здійснена в рандомізований час . Більш офіційно, з урахуванням трьох матриць A, B і C, із записами з поля F, проблема перевірки, чи має AB = C рандомізований алгоритм часу O ( n 2 ) .$O(n^2)$$O(n^2)$

Це цікаво тим, що найшвидший відомий алгоритм множення матриць повільніше, ніж це, тому перевірка, чи AB = C швидше, ніж обчислення C.

Хочу знати, що є найбільш загальною алгебраїчною структурою, над якою матрична перевірка продукту все ще має алгоритм часу (рандомізований). Оскільки оригінальний алгоритм працює над усіма полями, я думаю, він працює і над усіма цілісними доменами.$O(n^2)$

Найкращою відповіддю, яку я міг знайти на це питання, було питання про субкубічні рівноваги між проблемами шляху, матриці та трикутника , де сказано, що "перевірка матричного продукту через кільця може бути здійснена в рандомізований час [BK95]". ([BK95]: М. Блум та С. Каннан. Проектування програм, які перевіряють їхню роботу. J. ACM, 42 (1): 269–291, 1995.)$O(n^2)$

По-перше, чи є кільця найбільш загальною структурою, в якій ця задача має рандомізований алгоритм? По-друге, я не бачив, як результати [BK95] показують алгоритм часу O ( n 2 ) для всіх кілець. Хтось може пояснити, як це працює?$O(n^2)$$O(n^2)$

Ось швидкий аргумент, чому він працює над кільцями. Давши матриці , B , C , ми перевіряємо A B = C , вибираючи випадковий бітовий вектор v , а потім перевіряючи, чи A B v = C v . Це явно проходить , якщо A B = C .$A$$B$$C$$A B = C$$v$$ABv = Cv$$AB = C$

Припустимо, і A B v = C v . Нехай D = A B - C . D - ненулева матриця, для якої D v = 0 . Яка ймовірність того, що це відбудеться? Нехай D [ i ′ , j ′ ] - ненульовий запис. За припущенням, ∑ j D [ i ′ , j ] v [ j ] = $AB \neq C$$ABv = Cv$$D = AB - C$$D$$Dv = 0$$D[i',j']$$\sum_{j} D[i',j] v[j] = 0$. З ймовірністю , про [ J ' ] = 1 , так що ми маємо$1/2$$v[j'] = 1$

.$D[i',j'] + \sum_{j\neq j'} D[i',j] v[j] = 0$

Будь-яке кільце в процесі його додавання є адитивною групою, тому існує унікальна інверсія , тобто - D [ i ′ , j ′ ] . Тепер ймовірність поганого події - D [ я ' , J ' ] = Σ J ≠ J ' D [ я ' , J ] v [ J ] не більше 1 /$D[i',j']$$-D[i',j']$$-D[i',j'] = \sum_{j\neq j'} D[i',j] v[j]$$1/2$. (Один із способів бачити це - "принцип відкладених рішень": щоб сума дорівнювала , принаймні один інший D [ i ′ , j ] повинен бути ненульовим. Тому врахуйте v [ j ] відповідає цим іншим ненульовим записам. Навіть якщо ми встановимо всі ці v [ j ] , крім однієї з них оптимально , все ще існує однакова ймовірність, що для останнього буде 0 або $-D[i',j']$$D[i',j]$$v[j]$$v[j]$$0$$1$, Але до цих пір тільки один з цих значень може внести остаточну суму , рівну .) Таким чином , з імовірністю принаймні 1 / 4 , ми успішно знаходимо , що D V ≠ 0 , коли D дорівнює нулю. (Примітка v [ j ] і v [ j ′ ] вибираються незалежно для j ≠ j ′ .)$-D[i',j']$$1/4$$Dv \neq 0$$D$$v[j]$$v[j']$$j \neq j'$

Як бачите, наведений вище аргумент залежить від віднімання. Таким чином, він не буде працювати (наприклад) на довільних комутативних півколах. Можливо, ви могли б розслабити мультиплікативні властивості алгебраїчної структури і все ж отримати результат?