Максимальний дисбаланс у графіку?

Нехай зв'язний граф з вузлами і ребер . Нехай позначає (цілу) вагу графа , з загальна вага в графі. Середня вага на один вузол тоді становить . Нехай позначає відхилення вузла від середнього. Ми називаємодисбаланс в вузлі . $G$ $G = (V,E)$ $V = 1 \dots n$ $E$ $w_i$ $G$ $\sum_i w_i = m$ $\bar w = m/n$ $e_i = w_i - \bar w$ $i$ $|e_i|$ $i$

Припустимо, що вага між будь-якими двома сусідніми вузлами може відрізнятися на , тобто $1$

w_{i} - w_{j} \leq 1 \forall (i, j) \in E .

$w_i - w_j \le 1\; \forall (i,j) \in E.$

Запитання : Який найбільший можливий дисбаланс у мережі з точки зору та ? Якщо точніше, зобразіть вектор . Я б однаково задоволений результатами щодо або . $n$ $m$ $\vec{e} = (e_1, \dots, e_n)$ $||\vec{e}||_1$ $||\vec{e}||_2$

Для , можна знайти просте обмеження у діаметрі графіка: Оскільки всі повинні дорівнювати нулю, якщо є великий позитивний , десь повинен бути негативний . Звідси їх різницяпринаймні, але ця різниця може становити щонайменше найкоротшу відстань між вузлами та , яка, в свою чергу, може бути не більше діаметра графіка. $||\vec{e}||_\infty$ $e_i$ $e_i$ $e_j$ $|e_i - e_j|$ $|e_i|$ $i$ $j$

Мене цікавлять більш сильні межі, бажано для - або -норму. Я припускаю, що вона повинна включати деяку теорію спектральних графів, щоб відобразити зв’язність графіка. Я намагався висловити це як проблему з максимальним потоком, безрезультатно. $1$ $2$

EDIT: Більше пояснення. Мене цікавить - або -норма, оскільки вони точніше відображають загальний дисбаланс. Тривіальне відношення отримали б із , та . Я очікую, однак, що через зв’язність графіка та мою обмеженість у різниці навантажень між сусідніми вузлами, -і -норми мають бути значно меншими. $1$ $2$ $||\vec{e}||_1 \leq n|||\vec{e}||_\infty$ $||\vec{e}||_2 \leq \sqrt{n}||\vec{e}||_\infty$ $1$ $2$

Приклад: Гіперкуба розміру d, з . Він має діаметр . Максимальний дисбаланс тоді становить максимум . Це передбачає верхню межу для -норму . Поки що мені не вдалося побудувати ситуацію, коли це насправді виходить, найкраще, що я можу зробити, - це щось у напрямку , де я вклав цикл у Гіперкуба та вузли мають дисбаланси , , , і т. Д. Отже, тут пов'язана відключена фактором $n = 2^d$ $d = \log_2(n)$ $d$ $1$ $nd = n\log_2(n)$ $||\vec{e}||_1 = n/2$ $0$ $1$ $0$ $-1$ $\log(n)$ , що я вважаю вже занадто великим, оскільки шукаю (асимптотично) жорстких меж.

graph-theory co.combinatorics spectral-graph-theory

— Lagerbaer
джерело

цікаве запитання. чи є якась конкретна програма?

— Суреш Венкат

@ András Salamon: Дякую за редагування. @ Суреш Венкат: Припустимо, ваги представляють кількість агентів рівномірного розміру, які хочуть мінімізувати своє досвідчене навантаження. Вони захочуть перейти від

i

$i$ до

j

$j$ якщо

w_{i} > w_{i}

$w_i > w_i$ . Якщо ніхто не хоче рухатися, ми називаємо це рівновагою Неша. Запитання: Який найбільший загальний дисбаланс ми могли мати в рівновазі Неша?

— Lagerbaer

У вас трапляється приклад графіка, де ваш простий обмежений діаметр занадто нещільний?

— mhum

Що ж, я можу банально зв'язати дві інші норми, використовуючи

. Мене цікавить

- або

-норма, оскільки вони більш точно фіксують "повний" дисбаланс. Я додав приклад до свого запитання.

| | \vec{e} | |_{1} \leq n | | \vec{e} | |_{\infty}

$||\vec{e}||_1 \leq n||\vec{e}||_\infty$

1

$1$

2

$2$

— Lagerbaer

Що стосується гіперкуба, що робити, якщо зважити вершини за їхньою вагою Хеммінга? Я отримую щось на кшталт

для

, і я думаю, що

буде порядком

\sqrt{d (n - 2)} / 2

$\sqrt{d(n - 2)}/2$

l_{2}

$l_2$

l_{1}

$l_1$

n d

$nd$

— Артем Казнатчеєв

Відповіді:

Оскільки обмежена діаметром , норма буде тривіально обмежена , подібно до норми , за винятком $|e_i|$ $d$ $\ell_1$ $nd$ $\ell_2$ (насправдінормаобмежена). $\sqrt{n}d$ $\ell_p$ $n^{1/p}d$

випадок виявляється на диво легко аналізувати. $\ell_1$

Для шляху легко зрозуміти, що є , тому ви не можете зробити кращого за . $\|\vec e\|_1$ $O(n^2)$ $O(nd)$

Для повного дерева -ary, ви можете розділити його навпіл у корені, встановивши , піднімаючи одну сторону та опускаючи другу, поки листя не матиме , знову виробляючи . $k$ $w_{\text{root}} = 0$ $|e_i| = |w_i| = \log_k n$ $O(n\log_k n) = O(nd)$

Для кліки це дійсно не має значення , як ви поширюєте вага, так як всі вони будуть в межах друг від друга, і що дасть знову. $1$ $O(n) = O(nd)$

Коли ви зрозумієте, що тут йдеться про функцію , і тоді ми приймаємо її норму , поки ви можете довільно розподілити ваги рівномірно в межах діапазону, межа буде . $e : \mathbb{Z} \to [-d/2,d/2] \subset \mathbb{R}$ $\ell_1$ $e_i \in [-d/2,d/2]$ $O(nd)$

Єдиний спосіб змінити це - грати в ігри з масою. Наприклад, якщо у вас є кілька гігантських кліків у точках, які обов'язково врівноважені, як гігантська кліка з двома шляхами однакової довжини, що витікає з неї, то ви можете розраховувати на межу лише (наприклад) . $O(d^2)$

Це може бути правдою і для розширювачів до певної міри, але я не впевнений. Я міг би уявити випадок, коли ви встановлюєте у звичайному графіку, а потім дозволяєте значенням збільшуватися згодом від кожного переходу. Здається, ймовірно, що середня величина може мати найбільшу масу, але я не знаю, чи достатньо було б вплинути на межу. $w_1 = 0$

Я думаю, що ви могли б міркувати аналогічно щодо . $\ell_2$

Редагувати:

У коментарях ми з'ясували, що (вільний) пов'язаний з використовуючи обмеження проблеми та деякі основні теорії спектральних графів. $\ell_2$ $O(|E|/\lambda_2(L))$

— Джозефіна Моллер
джерело

Мені подобається ваша відповідь. Однак у мене є проблема з тим, що " ви можете довільно розподілити ваги рівномірно ". Чи не можу я передбачити ситуацію, коли обмежений діаметр дозволив би мені десь помістити вагу

але тоді структура графіка така, що я не можу компенсувати цю велику позитивну вагу? Отже, хоча

звичайно є верхньою межею, чи можна було б отримати більш жорсткі межі? Зрештою, використовуючи друге найменше власне значення Лаплація або друге за величиною власне значення суміжності (оскільки вони кодують інформацію про з'єднання)?

e_{i} = d / 2

$e_i = d/2$

O (n d)

$\mathcal{O}(nd)$

— Лагербаєр

Ну, ви не розміщуєте

, ви розміщуєте

. Отже, якщо у вас перекошений

, має бути велика кількість невеликих ваг, які компенсують його з іншого боку середнього, або якась інша велика вага, діаметрально протилежна йому. Єдиний спосіб, щоб ви могли отримати пов'язану, меншу за

- якось розраховувати на структуру. І як я вже сказав, я не впевнений, що це означатиме для, скажімо, розширювача. Я не думаю, що ви могли це зробити виключно на основі провідності, через випадки, які я виклав у своїй відповіді.

e_{i}

$e_i$

w_{i}

$w_i$

e_{i}

$e_i$

O (n d)

$O(nd)$

— Джозефіна Моллер

Дозвольте запропонувати ще один приклад. Графік з гантелями з двома кліками має дуже низьку провідність, але його дисбаланс обмежений 2.

— Жозефіна Моллер

Межа, що стосується структури, була б чимось, з чим я був би абсолютно задоволений. Ось чому я згадав власні значення, оскільки вони стосуються властивостей з'єднання. Існують, наприклад, межі діаметра, середнього шляху, ізопериметричного числа тощо у перерахунку на другий найменший власний вектор лаплаціанської матриці графа.

— Lagerbaer

Прочитайте ваш інший приклад зараз. Я очікую, що такий графік матиме також дуже мале друге найменше власне значення Лаплаціа, оскільки ізопериметричне число складе близько

2 / n

$2/n$

— Lagerbaer

Для підключених графіків дисбаланс верхній межі діаметру графіка. Для того щоб зв'язати дисбаланс , ми можемо переписати кожне як де $|w_i - 1/n\sum_k w_k|$ $w_k$ $w_k - v_1 + v_1 - v_2 + v_2 - ... - v_k + v_k - w_i + w_i$ найкоротший шлях від до . Визначте . Ми можемо написати $w_k, v_1,...,v_k, w_i$ $w_i$ $w_k$ $w_{ki} = w_k - v_1 + v_1 - v_2 + v_2 - ... - v_k + v_k - w_i$

| w_{i} - 1 / n \sum_{k} w_{k} | = | w_{i} - 1 / n \sum_{k} (w_{k i} + w_{i}) | = | \sum_{k \neq i} \frac{w_{k i}}{n} |

$|w_i - 1/n\sum_k w_k| = |w_i - 1/n\sum_k (w_{ki} + w_i)| = |\sum_{k\neq i} \frac{w_{ki}}{n}|$

Кожен обмежено зверху по довжині найкоротшого шляху від до вашого припущення , що для кожного . Тому отримуємо тривіальну межу: $w_{ki}$ $i$ $k$ $w_i - w_j \leq 1$ $i,j\in E$

| w_{i} - 1 / n \sum_{k} w_{k} | \leq \frac{(n - 1)}{n} D

$|w_i - 1/n\sum_k w_k| \leq \frac{(n-1)}{n} D$

Це насправді може бути не надто далеко від оптимального. Я думаю про повне -ary дерево, де вузли на кожному рівні мають вагу на один більший, ніж вага попереднього рівня. Велика частка графіка має найбільшу вагу, . Отже, середній слід перекосити до вершини. Як і отримати більше, я очікую , , щоб стати ближче і ближче до , що означає дисбаланс повинен стати ближче і ближче до . $k$ $D+1$ $k$ $n$ $m$ $D+1$ $D$

— Микола Руоцці
джерело

Наскільки я можу сказати, конструкція, накреслена тут, може бути жорсткою, щоб досягти дисбалансу наближеному до

як бажано. Однак, оскільки питання не вказує, що відбувається, коли вершини не є суміжними, простішою побудовою є повністю роз'єднаний графік з вершиною

має вагу

і всі інші вершини з масою

. Він має середню масу

що також є його максимальним дисбалансом. Це однозначно можна зробити довільно близьким до

, вибравши досить великий

D < \infty

$D<\infty$

0

$0$

0

$0$

k

$k$

k (n - 1) / n

$k(n-1)/n$

k

$k$

n

$n$

k

$k$ можна зробити так, як бажано.

— Андрас Саламон

@ Андраш Саламон: Добре. Наведена відповідь передбачає, що даний графік

пов'язаний. Я відредагую це, щоб зробити це зрозумілим.

G

$G$

— Микола Руоцці

Я додав "пов'язане" обмеження до мого запитання, оскільки це було на увазі. Тут відповідь представлений обмеженням на

. Крім того, коли я запитував "найгірший" випадок, я мав на увазі, що графік буде виправлений, і я б спробував знайти найгірший випадок саме для цього графіка.

| | \vec{e} | |_{\infty}

$||\vec{e}||_\infty$

— Lagerbaer