Який найбільший розрив між рангом та приблизним рангом?

Ми знаємо, що журнал ранжу матриці 0-1 є нижньою межею детермінованої складності зв'язку, а журнал приблизного рангу - нижньою межею рандомізованої складності зв'язку. Найбільший розрив між детермінованою складністю зв'язку та рандомізованою складністю зв'язку є експоненціальним. То як щодо розриву між рангом і приблизним рангом булевої матриці?

— пяо
джерело

що таке "приблизний ранг" матриці?

— Суреш Венкат

ϵ

$\epsilon$ -approximate ранг булевої матриці

M

$M$ мінімальний ранг реальної матриці

A

$A$ , що відрізняється від

M

$M$ НЕ більш ніж на

ϵ

$\epsilon$ в будь-якому записі (див Бурман і Вольф 2001, «Комунікаційна складність нижні межі полиномами»). Було б корисно відредагувати питання, щоб пояснити це (якщо це бажане визначення) та описати роль

ϵ

$\epsilon$ (оскільки різниця в рангах явно залежить від

ϵ

$\epsilon$ ).

— mjqxxxx

Спершу я надам деяку інформацію та визначу приблизний ранг. Хорошим посиланням є нещодавнє опитування Нижньої межі Лі та Шрайбмана про складність комунікацій .

Визначення: Нехай - матриця знаків. Орієнтовний ранг з коефіцієнтом наближення , позначеним , є $A$ $A$ $\alpha$ $rank^\alpha(A)$

$rank^\alpha(A)=\min_{B:1\leq A[i,j]\cdot B[i,j] \leq \alpha} rank(B)$

Коли , визначте $\alpha\to \infty$

$rank^\alpha(A)=\min_{B:1\leq A[i,j]\cdot B[i,j]} rank(B)$ .

Результат Краузе говорить, що де і є складність зв'язку приватної монети з обмеженою помилкою з верхньою межею помилки . $R_\epsilon^{pri}(A)\geq \log rank^\alpha(A)$ $\alpha=1/(1-2\epsilon)$ $R_\epsilon^{pri}$ $A$ $\epsilon$

Сказане було для фону. Тепер, щоб відповісти на запитання, Патурі та Саймон показали, що повністю характеризує складність зв'язку обмежених помилок . Вони також показали , що це узгоджується з мінімальним розміром розташування , що реалізує булеву функцію, комунікаційна матриця . Складність зв'язку без обмежених помилок функції рівності дорівнює . Майте це на увазі. $rank^\infty(A)$ $A$ $A$ $O(1)$

Матриця зв'язку для рівності - це просто тотожність, тобто булева матриця з рядками та стовпцями з усіма діагоналями. Позначимо це через . Алон показав, що який затягується до логарифмічного коефіцієнта (з теоремою Краузе отримаємо ). $2^n$ $2^n$ $I_{2^n}$ $rank^2(I_{2^n})=\Omega(n)$ $R_\epsilon^{pri}(EQ)=\Omega(\log n)$

Матриця ідентичності має повний ранг, тобто . Таким чином, ми маємо експоненціально великі поділи для та . $2^n$ $\alpha=2$ $\alpha\to\infty$

— Маркос Вільягра
джерело

Дякую. але моє запитання полягає в тому, чи є суперекспоненціальний проміжок для і , де але не .

r a n k (A)

$rank(A)$

r a n k^{α} (A)

$rank^{\alpha}(A)$

α > 1

$\alpha>1$

α \neq \infty

$\alpha\neq\infty$

— pyao

Так, я бачу, але це не написано в питанні. Наскільки мені відомо, найбільший розрив є експоненціальним.

— Маркос Віллагра

Маркос дає вам посилання, яке показує розрив у між та . як може виникнути суперекспоненціальний зазор, коли розмір матриці дорівнює ?

2^{n} / n

$2^n/n$

r a n k

${rank}$

{r a n k}^{2}

${rank}^2$

2^{n}

$2^n$

— Сашо Ніколов

ти маєш на увазі розрив а не ?

Ω (2^{n})

$\Omega(2^n)$

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

— Сашо Ніколов

Сашо заперечує, що ви маєте на увазі під "суперекспоненціалом? Для будь-якої проблеми зв'язку матриця завжди перевищує .

{0, 1}^{n} \times {0, 1}^{n}

$\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n$

— Маркос Віллагра