Яка роль предикативності в індуктивних визначеннях в теорії типів?

Ми часто хочемо визначити об’єкт відповідно до деяких правил виводу. Ці правила позначають виробляє функцію , яка, коли вона монотонна, яке повертає міру нерухому точку . Візьму , щоб бути «індуктивним визначенням» . Більше того, монотонність дозволяє обґрунтувати "принцип індукції", щоб визначити, коли множина містить (тобто коли властивість універсально тримається на ).$A \in U$$F$$\mu F$$A := \mu F$$A$$F$$A$$A$

У Coq це відповідає написанню визначення з явними термінами введення. Хоча це визначення позначає конкретну функцію , ця функція не обов'язково є монотонною. Тому Coq використовує деякі синтаксичні перевірки, щоб гарантувати «добре сформованість» визначення. До деякого наближення він відкидає виникнення в негативних положеннях у типах термінів введення.$\mathtt{Inductive}$$A$$F$$A$

(Якщо моє розуміння до цього моменту є помилковим, будь ласка, виправте мене!)

По-перше, кілька питань у контексті Coq:

1) Чи синтаксична перевірка в Coq служить лише для того, щоб визначення було предикативним ? (Якщо так, чи є непередбачуваність єдиним способом, у якому це визначення було б неправильним?) Або це перевірка на монотонність? (Відповідно, чи не монотонність, що може її вбити?)$A$

2) Чи обов'язково означає таке негативне виникнення , що визначення є непередбачуваним / немонотонним? Або Coq просто не в змозі перевірити, чи добре він визначений у такому випадку?$A$$A$

І в цілому:

3) Який взаємозв'язок між предиктивністю індуктивного визначення та монотонністю генеруючої функції цього визначення? Вони дві сторони однієї монети? Вони не пов'язані між собою? Неформально, хто з них має більше значення?

Ні, в цьому випадку прогнозованість і монотонність не є тісно пов'язаними.

Перевірка позитивності в Coq / Adga служить для того, щоб ви сприймали найменше фіксовану точку монотонної речі, приблизно.

Ось як можна думати про індуктивні типи з точки зору решіток та монотонних операторів. Нагадаємо, що теорема Кнастера-Тарського говорить, що на повній решітці кожен монотонний оператор f : L → L має найменшу фіксовану точку μ ( f ) . Далі ми можемо розглядати типи в теорії типів як такі, що утворюють ґрати під доцільністю. Тобто, тип S нижче T , якщо істина S тягне за собою , що з T . Тепер, що ми хотіли б зробити, це взяти монотонний оператор F для типів і використовувати Кнастер-Тарскі, щоб отримати інтерпретацію найменш фіксованої точки цього оператора$L$$f : L \to L$$\mu(f)$$S$$T$$S$$T$$F$ . $\mu(F)$

Однак типи в теорії типів не є лише решіткою: вони утворюють категорію. Тобто, враховуючи два типу і T , є потенційно багато способів для S , щоб бути нижче Т з одним способом для кожного доказу е : S → T . Тому оператор типу F також повинен зробити щось розумне з цих доказів. Відповідне узагальнення монотонності - функціональність . Тобто ми хочемо, щоб F мав оператора на типи, а також здійснював дію на докази, такі як якщо e : S → T , то F $S$$T$$S$$T$$e : S \to T$$F$$F$$e : S \to T$ .$F(e) : F(S) \to F(T)$

Тепер функціональність зберігається за сумами та продуктами (тобто, якщо і G є ендофайнерами на типи, тоді F + G і F × G (діючі в точці)) також є функторами за типами (якщо припустимо, що в нашій алгебрі є суми та продукти Тим не менш, це не збережене в просторі функцій, оскільки експоненціальний біфунктор F → G є протилежним у лівому аргументі. Отже, коли ви пишете індуктивне визначення типу, ви визначаєте функтора, щоб взяти найменш фіксовану точку. Щоб переконатися, що він дійсно є функтором, вам потрібно виключити виникнення рекурсивного параметра в лівій частині функціональних просторів --- звідси перевірка позитивності.$F$$G$$F+G$$F\times G$$F \to G$

Імпредикативності (у значенні Система F) взагалі уникають, тому що це принцип, який змушує вас обирати між класичною логікою та теоретично заданими моделями. Ви не можете інтерпретувати типи як набори в класичній теорії множин, якщо у вас індексація у стилі F. (Див. Знаменитий Рейнольдс "Поліморфізм не заданий теоретичним".)

Категорично, непередбачуваність у стилі F говорить про те, що категорія типів і термінів утворює малу повну категорію (тобто, хоми та об’єкти є обома множинами, а межі всіх малих діаграм є). Класично це змушує категорію бути поетом. Багато конструктивістів є конструктивними, тому що вони хочуть, щоб їх теореми трималися в більшій системі, ніж просто класична логіка, і тому вони не хочуть доводити нічого, що було б класично помилковим. Отже, вони визивають непередбачуваний поліморфізм.

Однак поліморфізм дозволяє говорити про багато умов, які є класично «великими» всередині вашої теорії типу - і позитивність є однією з них! Оператор типу є функціональним, якщо ви можете створити поліморфний термін:$F$

Подивіться, як це відповідає функціональності? ІМО, це було б дуже приємним варіантом роботи в Coq, оскільки це дозволить вам робити загальне програмування набагато простіше. Синтаксичний характер перевірки позитивності є великою перешкодою для загального програмування, і я би радий торгувати можливістю класичних аксіом для більш гнучких функціональних програм.

EDIT: Питання, яке ви задаєте про різницю між Prop і Set, виникає з того, що розробники Coq хочуть дозволити вам думати про теореми Coq в наївних множинно-теоретичних термінах, якщо ви хочете, не змушуючи вас це робити. Технічно вони розділяють Prop і Set, а потім забороняють набори залежно від обчислювального вмісту Prop.

Таким чином, ви можете інтерпретувати Prop як значення істини в ZFC, які є булевими істинними та хибними. У цьому світі всі докази пропозицій рівні, і тому очевидно, що ви не повинні мати змогу розгалужуватися на доказ пропозиції. Тож заборона на множини залежно від обчислювального змісту доказів Prop є цілком розумною. Крім того, 2-елементна булева гратка, очевидно, є повною решіткою, тому вона повинна підтримувати непередбачувану індексацію, оскільки існують довільні задані значення. Обмеження предикативності для Sets виникає з факту (згаданого вище), що індексація стилю F є виродженою у класичних множинно-теоретичних моделях.

У Coq є інші моделі (це конструктивна логіка!), Але справа в тому, що з полиці вона ніколи не доведе нічого, що класичний математик здивував би.

Існує дуже глибокий зв’язок між індуктивними визначеннями та непередбачуваністю, але моє розуміння полягає в тому, що в контексті того, про що ви говорите (не) прогнозованість не особливо актуальна, і тест суто гарантує монотонність, щоб теорія фіксованої точки могла бути застосовується, а саме, що принцип індукції чітко визначений. (Я готовий виправитись з цього приводу.)

Взаємозв'язок між непередбачуваністю та індуктивними визначеннями досліджується у цій бесіді Кокендом. Це повертається до деяких результатів 50-х років Г. Такеуті, що непередбачувані визначення можна звести до індуктивних визначень. Книга

• Теорія доказів непрямих підсистем аналізу - монографії та підручники з фізичних наук 2 В. Бухгольц, К. Шутт

дає хороший аналіз теми, якщо ви можете взяти на себе її. Ці слайди дають огляд.

Просто для завершення чудового пояснення Ніла, непередбачуваність має "м'який" сенс: визначення наборів або колекцій за допомогою посилання на себе. У цьому сенсі:

Inductive Lam : Set :=
| Var : Nat -> Lam
| App : Lam -> Lam -> Lam
| Abs : (Lam -> Lam) -> Lam

є непередбачуваним визначенням, оскільки воно визначає індуктивний тип, Lam використовуючи функціональний простір (Lam -> Lam), який відноситься до самої колекції. У цій ситуації непередбачуваність шкідлива : можна використовувати теорему Кантора, щоб довести хибність. Насправді це та сама марка непередбачуваності, яка знижує наївну теорію множини як послідовну основу математики. Тому це заборонено в Coq. Інша форма impredicativity буде дозволена, як ви знаєте:

Definition Unit : Prop := forall X:Prop, X -> X

Визначення підрозділу як пропозиції посилається на збір усіх пропозицій, членом яких він є. Однак з дещо незрозумілих мені причин ця непередбачуваність не є шкідливою, оскільки вона присутня в ZFC (у формі безмежного розуміння ), який, як відомо, є непослідовним.

На закінчення, негативні випадки індуктивних типів у визначеннях є формою непередбачуваності, але не тією, яку зазвичай називають КоК як непередбачуваною основою .