Яке найважливіше поняття розрідженості для проектування ефективних графічних алгоритмів?

12

Існує кілька конкуруючих понять "розріджений графік". Наприклад, графік, що вбудовується в поверхню, можна вважати рідким. Або графік із обмеженою щільністю ребер. Або графік з високим обхватом. Графік з великим розширенням. Графік із обмеженою шириною. (Навіть у підполі випадкових графіків дещо неоднозначно, що можна назвати рідкісним.) Et cetera.

Яке поняття «розріджений графік» найбільше вплинуло на розробку ефективних алгоритмів графіків, і чому? Аналогічно, яке поняття "щільний графік" ...? (NB: Карпінський багато працював над результатами апроксимації для однієї стандартної моделі щільних графіків.)

Я щойно бачив розмову Ж. Несетріля за програмою його (разом з П. Оссоною де Мендесом) про фіксацію мір обмеженості у графіках в єдиній (асимптотичній) рамці. Моє запитання - так, можливо, досить суб'єктивне, і я очікую на різні табори - мотивоване бажанням зрозуміти багатогранну перспективу щодо використання розрізненості в алгоритмах (і усунути будь-які прогалини в моєму власному розумінні цього питання).

— RJK
джерело

Як ви вважаєте, повний графік також є рідкісним? Повні графіки мають велике розширення та обмежену ширину кліпів.

— Йосіо Окамото

@Yoshio Okamoto: хороший момент - я вважаю, що широка ширина була б кращим вибором там ...

— RJK

6

Програму Дж. Несетріля та П. Оссони де Мендес, про яку ви згадали, зараз книга .

— vb le

16

Я думаю, що за будь-якого розумного стандарту n-n × n тривимірний графік сітки повинен вважатися розрідженим, і це виключає більшість визначень кандидатів, що стосуються вбудовування поверхонь або неповнолітніх. (Хоча підлінійна ширина все ще можлива.)

Моя нині улюблена міра рідкості - виродження . Виродження графа є мінімальним за всіма лінійними впорядкуваннями вершин графіка, максимального перевищення в спрямованій ациклічній орієнтації графа, сформованої шляхом орієнтування кожного краю від попередніх до пізніших вершин у впорядкуванні. Рівнозначно, це максимальний, по всіх підграфах, мінімальний ступінь у підграві. Так, наприклад, планарні графіки мають виродження п’ять, оскільки будь-який підграф планарного графа має вершину ступеня не більше п'яти. Виродженість легко обчислити за лінійним часом, а лінійне впорядкування, що виходить з визначення, корисне в алгоритмах .

Виродження є постійним фактором деяких інших стандартних заходів, включаючи бесіду, товщину та максимальний середній ступінь будь-якого підграфу, але такі, на мою думку, важче використовувати.

— Девід Еппштейн
джерело

Це досить приємна відповідь. Це підкреслює, як начебто прості структури, такі як сітки, часто можуть спричинити непорозуміння, думаючи про розріджені графіки. (Напевно, це не надто дивно, враховуючи те, наскільки важливими є неповнолітні сітки для теорії Робертсона-Сеймура.) Чи було б справедливо сказати, що виродження - це жадібний алгоритм, оскільки широка швидкість - це динамічне програмування? Чи, можливо, можна сказати більше про мізерні заходи, які передбачають хороші замовлення, наприклад, пропускну здатність?

— RJK

@RJK: Щоб довести цей аргумент до крайньої межі, 3-регулярні плоскі сітки (шестикутні сітки / настінні графіки) мають необмежену ширину ширини, але приблизно такі ж рідкі, як можна отримати.

— Андрас Саламон

@Andras: Звичайно, але як щодо графіка з невеликою шириною, яка не є рідкою? У цьому (односторонній) сенсі я вважаю, що ширина ширини також визначається як міра обмеженості.

— RJK

k

$k$

n

$n$

k

$k$

Ω (\log n)

$\Omega(\log n)$

Θ (\log n / \log \log n)

$\Theta(\log n/\log \log n)$

8

Здається, існує багато "хороших" уявлень про обмеженість, але є щось ієрархічне для тих структурних понять розрідженості, які мають модельно-теоретичний колорит. Я думаю, що вони мали сильний вплив на ефективні алгоритми графіків.

$k$ $K_{k+2}$

У курсових записках Ануя Давара від листопада 2010 року також обговорюється місцева обмежена широчина, яка непорівнянна з виключеними неповнолітніми. Обмежений ступінь чітко визначає розрізнені графіки, і такі графіки обмежують локальну ширину, але не визначаються набором виключених неповнолітніх.

Вплив обмеженого ступеня очевидний: часто одне із перших показаних обмежень робить важку проблему простежуваною, наприклад, алгоритм Лукса для Ізоморфізму графів на графіках обмеженого ступеня. Вплив виключення неповнолітнього також очевидний, принаймні, під виглядом обмеженої ширини (як вказував Суреш).

Поняття про місцеве виключення неповнолітнього узагальнює як локально обмежену ширину, так і виключає неповнолітніх, таким чином утворюючи "найбільш загальний" клас в ієрархії. Однак поки не ясно, як використовувати цю властивість у практичних алгоритмах. Навіть "простежуваний" випадок виключення неповнолітньої не обов'язково має добрі практичні алгоритми; великі константи мають багато модельно-теоретичних алгоритмів. Я сподіваюся, що деякі з цих класів виявляться практично ефективними алгоритмами з часом.

Дивіться також мою відповідь, що легко для графіків, що не стосуються другорядних осіб? для подальших відповідних коментарів.

— Андраш Саламон
джерело

6

Я не можу придумати жодної властивості графіка, яка мала б настільки ж вплив на розробку ефективних алгоритмів, як обмежена тривалість і двовимірність загалом.

— Суреш Венкат
джерело

1

Привіт Суреш: Я б сказав, що це "правильна" відповідь на головне запитання, але чи бажаєте ви трохи розігнати свою посаду? Я усвідомлюю, що це базовий матеріал, але я вже допустив помилку надмірно збільшуючи обґрунтованість концепції однієї ширини - ширини висоти чіткості - до розрізнених графіків.

— RJK

1

Графік можна розглядати як матрицю суміжності - є кілька визначень для матриці розрідженості (наприклад,% нульових записів), які можуть перевести назад до самого графіка. За винятком% нульових записів, пропускна здатність матриці при перепорядкуванні може бути хорошим проксі-сервером для розрідженості графіків (схоже, пропускна здатність пов'язана з виродженням).

— лінксоїд
джерело